Pi

in Wikipedia, die vrye ensiklopedie
(Aangestuur vanaf Π)
Spring na: navigasie, soek
Die kleinletter pi
Indien 'n sirkel se deursnee gelykstaande aan 1 is, is sy omtrek gelykstaande aan π.

Die wiskundige konstante π (geskryf as "pi" wanneer die Griekse letter nie beskikbaar is nie, uitgespreek "pie") word algemeen in wiskunde en fisika gebruik. In Euclidiese meetkunde word π gedefinieer as óf die verhouding van 'n sirkel se omtrek tot sy deursnit, óf as die oppervlakte van 'n sirkel van radius 1 (die eenheidsirkel). Meeste moderne handboeke definieer π analities deur trigonometriese funksies te gebruik, soos b.v. as die kleinste positiewe x waarvoor sin(x) = 0, of twee maal die kleinste positiewe x waarvoor cos(x) = 0. Al hierdie definisies is ekwivalent.

Pi is ook bekend as Archimedes se konstante (nie dieselfde as Archimedes se getal nie) en Ludolph se getal.

Die numeriese waarde van π, afgerond tot 64 desimale plekke is: 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 5923

Eienskappe[wysig]

Pi is 'n irrasionale getal: dit beteken dat dit nie as die verhouding tussen twee heelgetalle geskryf kan word nie. Dié eienskap is in 1761 deur Johann Heinrich Lambert bewys. Daarbenewens is die getal transendent, soos bewys deur Ferdinand von Lindemann in 1882: dit beteken daar is geen polinoom met rasionale (of, ekwivalent, heeltallige) koëffisiënte waarvan π 'n wortel is nie.

'n Belangrike gevolg van die transendentaliteit van π is die feit dat dit nie konstrueerbaar is nie: dit beteken dat dit onmoontlik is om π uit te druk met 'n eindige hoeveelheid heelgetalle, breuke en hul vierkantswortels. Hierdie resultaat bewys dat dit onmoontlik is om 'n sirkel te kwadreer: dit is onmoontlik om 'n vierkant te konstrueer, deur net 'n liniaal en passer te gebruik, waarvan die area gelyk is aan die area van 'n gegewe sirkel. Die rede is dat alle koördinate van punte wat gekonstrueer kan word met 'n liniaal en passer, konstrueerbare getalle is.

Die oorspronklike Griekse letter pi was foneties ekwivalent aan die letter p, maar word in Grieks en Afrikaans as "pie" (soos in piering) uitgespreek, en nie soos die Engelse "pie" nie.

Formules wat π betrek[wysig]

Meetkunde[wysig]

Pi kom voor in baie formules in meetkunde wat sirkels en sfere betrek.

Meetkundige vorm Formule
Omtrek van 'n sirkel met radius r C = 2 \pi r \,\!
Oppervlakte van 'n sirkel met radius r A = \pi r^2 \,\!
Oppervlakte van 'n ellips met halfasse a en b A = \pi a b \,\!
Volume van 'n sfeer met radius r V = \frac{4}{3} \pi r^3 \,\!
Oppervlakte van 'n sfeer met radius r A = 4 \pi r^2 \,\!
Volume van 'n silinder met hoogte h en radius r V = \pi r^2 h \,\!
Oppervlakte van 'n silinder met hoogte h en radius r A = 2 ( \pi r^2 ) + ( 2 \pi r ) h = 2 \pi r (r + h) \,\!
Volume van 'n keël van hoogte h en radius r V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \,\!
Oppervlakte van keël met hoogte h en radius r A = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r^2 =  \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2}) \,\!

Verder ook is die hoekmeting 180° (in grade) gelyk aan π radiale.

Analise[wysig]

Baie formules in analise bevat π, insluitend oneindige reeks- en produkvoorstellings, integrale en sogenaamde spesiale funksies.

\frac2\pi=
\frac{\sqrt2}2
\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2
\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\ldots
\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}
Hierdie gereeld-aangehaalde oneindige reeks word gewoonlik soos bo geskryf, maar kan meer tegnies uitgedruk word as:
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \left (\frac{1}{2n-1}\right ) = \frac{\pi}{4}
 \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}
\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}
\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}
en in die algemeen, \zeta(2n) is 'n rasionale veelvoud van \pi^{2n} vir positiewe heelgetal n.
\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}
n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n
e^{\pi i} + 1 = 0\;
\sum_{k=0}^{n} \phi (k) \sim 3 n^2 / \pi^2
  • Oppervlak van 'n kwart van die eenheidsirkel:
\int_0^1 \sqrt{1-x^2} = {\pi \over 4}

Komplekse analise[wysig]

e^{i\pi}\,\!+1=0
\oint\frac{dz}{z}=2\pi i

Volgehoue breuke[wysig]

Pi het vele volgehoue breukvoorstellings, onder andere:

 \frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{36}{13 + ...}}}}}}

(Sien ander voorstellings by The Wolfram Functions Site.)

Getalteorie[wysig]

'n Paar resultate vanuit getalteorie:

Hier word "waarskynlikheid", "gemiddeld" en "ewekansig" in die beperking van 'n limiet geneem, d.w.s., ons oorweeg die waarskynlikheid vir 'n stel heelgetalle {1, 2, 3, ..., N}, waar die limiet van N na oneindigheid streef.

Dinamiese stelsels / ergodiese teorie[wysig]

In dinamiese stelselteorie (sien ook ergodiese teorie), vir amper elke reële x0 in die interval [0,1], geld

 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{x_i} = \frac{2}{\pi}\,,

waar xi die iterate van die Logistieke kaart van r = 4 is.

Fisika[wysig]

Formules uit fisika:

 \Delta x \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}
 R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik}
 F = \frac{\left|q_1q_2\right|}{4 \pi \epsilon_0 r^2}

Waarskynlikheid en statistiek[wysig]

In waarskynlikheid en statistiek is daar baie verspreidings wat π in hul formule bevat, insluitend:

f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-(x-\mu )^2/(2\sigma^2)}
f(x) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)}

Let daarop dat die boonste formules ander integraalformules vir π kan voortbring omdat \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1 vir enige wdf f(x).

'n Interessante empiriese benadering van π is gebaseer op die probleem van Buffon se naald. Beskou die val van 'n naald met lengte L aanhoudend op 'n oppervlak met parallelle lyne S eenhede uit mekaar (met S > L). Indien die naald n keer laat val word, en x keer tot ruste kom en 'n lyn oorkruis (x > 0), dan kan π benader word deur:

\pi \approx \frac{2nL}{xS}

Geskiedenis[wysig]

Die simbool "π" vir Archimedes se konstante is eerste in 1706 deur William Jones voorgestel toe hy A New Introduction to Mathematics gepubliseer het, alhoewel dieselfde simbool reeds vroeër gebruik was om die omtrek van 'n sirkel aan te dui. Die skryfwyse het algemeen geword ná dit deur Leonhard Euler aangeneem is. In ieder geval is π die eerste letter van περιμετρος (perimetros), wat beteken 'rondom meet' in Grieks.

Numeriese benaderings van π[wysig]

As gevolg van die transendente aard van π is daar geen geslote-vorm uitdrukkings vir π nie. Daarom sal numeriese berekenings altyd benaderings tot die getal gebruik. Vir baie doeleindes is 3.14 of 22/7 naby genoeg, alhoewel ingenieurs gereeld 3.1416 (5 beduidende syfers) of 3.14159 (6 beduidende syfers) gebruik vir beter akkuraatheid. Die benaderings 22/7 en 355/113, met 3 en 7 beduidende syfers respektiewelik, word verkry uit die eenvoudige volgehoue breukuitbreiding van π.

'n Egiptiese skrywer genaamd Ahmes is die bron van die oudste bekende teks wat 'n benadering vir π gee. Die papirusrol dateer terug na die 17de eeu v.C., en beskryf die waarde in só 'n manier dat die resultaat verkry word uit 256/81 of 3.160.

Die Sjinese wiskundige Liu Hui het π bereken tot 3.141014 (korrek tot drie desimale plekke) in 263, en het voorgestel dat 3.14 'n goeie benadering is.

Die Indiese wiskundige en sterrekundige Aryabhata het 'n akkurate benadering vir π gegee. Hy skryf "Tel vier by eenhonderd, vermenigvuldig met agt en tel dan twee-en-sestigduisend by. Die resultaat is ongeveer die omtrek van 'n sirkel met deursnit van twintigduisend. Deur hierdie reël word die verhouding van die omtrek tot die diameter gegee." In ander woorde, (4+100)×8 + 62000 is die omtrek van die sirkel met radius 20000. Dit verskaf 'n waarde van π = 62832/20000 = 3.1416, korrek tot vier desimale plekke.

Die Chinese wiskundige en sterrekundige Zu Chongzhi het π tot 3.1415926 en later tot 3.1415927 bereken, en het twee benaderings (355/113 en 22/7) gelewer in die 5de eeu.

Die Iranse wiskundige en sterrekundige Ghyath ad-din Jamshid Kashani (1350-1439) het π soos volg tot 9 plekke bereken in die basis 60, wat ooreenstem met 'n 16-syfer desimale getal:

2 π = 6.2831853071795865

Die Duitse wiskundige Ludolph van Ceulen (omstreeks 1600) het die eerste 35 desimale plekke bereken. Hy was só trots op hierdie deurbraak gewees dat hy dit op sy grafsteen laat skryf het.

Die Sloveense wiskundige Jurij Vega het in 1789 die eerste 140 desimale plekke vir π bereken, waarvan die eerste 137 korrek was en die wêreldrekord vir 52 jaar behou het, todat William Rutherford in 1841 208 desimale plekke bereken het, waarvan die eerste 152 korrek was. Vega het John Machin se formule van 1706 verbeter, en sy metode word steeds vandag vermeld.

Geen van die bogenoemde formules kan gebruik word as 'n maklike manier om π mee te benader nie. Vir vinnige berekenings kan mens formules soos Machin s'n gebruik:

\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239} ,

tesame met die Taylorreeksuitbreiding van die funksie arctan(x). Hierdie formule kan maklik nagegaan word deur poolkoördinate van komplekse getalle te gebruik, beginnende met

(5+i)^4\cdot(-239+i)=-114244-114244i.

Uiters lang desimale uitbreidings van π word tipies deur die Gauss-Legendre algoritme en Borwein se algoritme bereken; die Salamin-Brent algoritme, wat in 1976 uitgevind is, is ook in die verlede gebruik.

Die eerste een miljoen syfers van π en 1/π is beskikbaar van Project Gutenberg (sien eksterne skakels hieronder). Die huidige rekord (Desember 2002) staan by 1 241 100 000 000 syfers, wat in September 2002 op 'n 64-nodus Hitachi superrekenaar met 1 teragreep hoofgeheue bereken is, wat 2 triljoen berekenings per sekonde uitvoer, nagenoeg twee keer soveel as die rekenaar gebruik vir die vorige rekord van 206 biljoen syfers. Die volgende Machin-agtige formules is hiervoor gebruik:

 \frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}
K. Takano (1982).
 \frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}
F. C. W. Störmer (1896).

Hierdie benaderings het soveel syfers dat dit nie meer van praktiese nut is nie, behalwe om nuwe superrekenaars te toets en (natuurlik) om nuwe π-berekeningsrekords op te stel.

In 1996 het David H. Bailey, tesame met Peter Borwein en Simon Plouffe, 'n nuwe formule vir π ontdek as 'n oneindige reeks:

\pi = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k}
\left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)

Hierdie formule laat dit toe om maklik die ke binêre of hexadesimale syfer van π te bereken, sonder dat die vorige k− 1 syfers bereken hoef te word. Bailey se webwerf bevat die afleiding sowel as implementasies in verskeie programmeertale. Die PiHex-projek het 64 bits rondom die kwadriljoenste bit van π bereken, wat terloops 'n 0 was.

Ander formules wat gebruik is om benaderings van π te bereken sluit in:


\frac{\pi}{2}=
\sum_{k=0}^\infty\frac{k!}{(2k+1)!!}=
1+\frac{1}{3}\left(1+\frac{2}{5}\left(1+\frac{3}{7}\left(1+\frac{4}{9}(1+...)\right)\right)\right)
Newton.
 \frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}
Ramanujan.
 \frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}}
David Chudnovsky en Gregory Chudnovsky.
{\pi} = 20 \arctan\frac{1}{7} + 8 \arctan\frac{3}{79}
Euler.

Oop vrae[wysig]

Die mees belangrike vraag oor π is of dit 'n normale getal is, d.w.s., of enige syferblok statisties net soveel voorkom in die uitbreiding van π as in enige ander ewekansige produksie. Dit moet waar wees in enige basis, nie net basis 10 nie. Huidige kennis in hierdie rigting is baie swak; dit is byvoorbeeld onbekend watter van die syfers 0,...,9 oneindig baie in die desimale uitbreiding van π voorkom.

Bailey en Crandall het in 2000 gewys dat die bestaan van die bogenoemde Bailey-Borwein-Plouffe-formule en soortgelyke formules impliseer dat die normaliteit in basis 2 van π en verskeie ander konstantes, gereduseer kan word na 'n geloofwaardige hipotese van chaosteorie. Sien Bailey se bogenoemde webwerf vir meer details.

Dit is ook onbekend of π en e algebraïes onafhanklik is, d.w.s. of daar 'n polinoomverwantskap tussen π en e met rasionale koëffisiënte bestaan.

π-kultuur[wysig]

14 Maart (3/14) is "Pi-dag", wat deur baie liefhebbers van π gevier word, en op 22 Julie (22/7) word "Pi-benaderingsdag" gevier.

In Engels word daar van "pi o'clock" gepraat, wat 3:14:15 voorstel.

'n Ander voorbeeld van wiskunde-humor is hierdie benadering van π: Neem die getal "1234", en ruil die eerste twee syfers en die laaste twee syfers om, wat die getal "2143" lewer. Deel hierdie getal deur "twee-twee" (22, sodat 2143/22 = 97.40909...). Neem die twee-kwadraatste wortel (4de wortel) van hierdie getal. Die gevolglike getal is merkwaardig naby aan π: 3.14159265.

Verwante artikels[wysig]

Eksterne skakels[wysig]

Commons-logo.svg
Wikimedia Commons het meer media verwant aan:
Pi (kategorie)

Syferbronne[wysig]

Berekening[wysig]

Algemeen[wysig]

Memorisering[wysig]