Kardioïed

in Wikipedia, die vrye ensiklopedie
Spring na: navigasie, soek
Die tekenproses van 'n kardioïed

In meetkunde is die kardioïed (of hartkromme) 'n episikloïed wat een en slegs een punt het. Dit wil sê 'n kardioïed is 'n kromme wat as 'n lokus geprodusseer kan word — as een sirkel rondom 'n ander identiese sirkel rol (sonder om te gly), vorm die pad van 'n punt op die omtrek van die rollende sirkel 'n kardioïed.

Die kardioïed is ook 'n spesiale tipe limaçon: dit is die limaçon met een punt. (Die punt word gevorm as die verhouding van a tot b in die vergelyking gelyk aan een is.)

Die naam kom van die hartvormige vorm van die kromme (Grieks kardioeides = kardia:hart + eidos:vorm). In vergelyking met die hartsimbool (♥) het 'n kardioïd egter nie so 'n skerp punt nie. Dit is meer soos die vorm van die buitelyn van 'n deursnit deur 'n pruim.

Die kardioïed is 'n inverse transform van 'n parabool.

Die groot, sentrale, swart figuur in 'n Mandelbrotversameling is 'n kardioïed. Hierdie kardioïed word omring deur 'n fraktale rangskikking van sirkels.

Vergelykings[wysig]

Aangesien die kardioïd 'n episikloïed met een punt is, is die parametriese vergelykings daarvan:

 x(\theta) = \cos \theta + {1 \over 2} \cos 2 \theta, \qquad \qquad
 y(\theta) = \sin \theta + {1 \over 2} \sin 2 \theta. \qquad \qquad

Die selfde vorm kan in poolkoördinate gedefinieer word deur die vergelyking

 \rho(\theta) = 1 + \cos \theta. \     Vir 'n bewys, kyk kardioïed bewyse.

Grafieke[wysig]

CardioidsLabeled.PNG

Vier grafieke van kardioïedes gerig in die vier kardinale rigtings, met hulle onderskeie polêre vergelykings.

Oppervlak[wysig]

Die oppervlak van 'n kardioïed wat kongruent is aan

 \rho(\theta) = a(1 - \cos \theta)

is

 A = {3\over 2} \pi a^2 .

Kyk bewys.

Kyk ook[wysig]

Verwysings[wysig]