Kwadraties integreerbare funksie

in Wikipedia, die vrye ensiklopedie
Spring na: navigasie, soek

'n Kwadraties integreerbare of vierkantintegreerbare funksie is in wiskunde 'n reële of komplekse meetbare funksie waarvan die integraal van die vierkant van die absolute waarde eindig is. Dus, indien

 \int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 \, dx < \infty,

dan is f kwadraties integreerbaar op die reële lyn, (-\infty,+\infty). 'n Mens mag ook praat van kwadratiese integreerbaarheid oor 'n geslote interval, soos byvoorbeeld [0,1].[1]

Eienskappe[wysig]

Die kwadraties inegreerbare funksies vorm 'n inwendige produkruimte wie se inwendige produk aangegee word deur

 \langle f, g \rangle = \int_A f(x) \overline{g(x)} \, dx

waar

  • f en g vierkantintegreerbare funksies is,
  • \overline{g(x)} die kompleks toegevoegde van g is,
  • A die versameling is waaroor geïntegreer word.

Aangesien

|a|^2 = a \cdot \overline{a},

is kwadratiese integreerbaarheid dieselfde as die vereiste

 \langle f, f \rangle < \infty. \,

'n Bewys eenders aan dié van die Riesz-Fisher-stelling toon dat die versameling van kwadraties integreerbare funksies 'n volledige metriese ruimte vorm.[2] Die feit dat die betrokke metriese ruimte die eienskap van 'n inwendige produk bevat, maak daarvan dan ook 'n Hilbert-ruimte[2] en, aangesien die inwendige produk noodwendig 'n norm op die ruimte induseer, is dit ook 'n Banach-ruimte.[2] Hierdie volledige inwendige produkruimte word konvensioneel met L^2 aangedui.

Verwysings[wysig]

  1. G. Sansone (1991). Orthogonal Functions. Dover Publications. ISBN 978-0-486-66730-0. 
  2. 2,0 2,1 2,2 Reed & Simon, 1980. Methods of modern mathematical physics I: functional analysis. Academic Press, Londen.