Kwadratiese vergelyking

in Wikipedia, die vrye ensiklopedie
Spring na: navigasie, soek
Grafieke van die reële waardes van die kwadratiese vergelyking ax2 + bx + c (parabool)

'n Kwadratiese vergelyking (of vierkantsvergelyking) is 'n wiskundige vergelyking in die vorm:

y = ax^2 + bx + c

'n Kwadratiese vergelyking gee 'n parabool op 'n grafiek.


Oplossing van 'n kwadratiese vergelyking[wysig]

'n Kwadratiese vergelyking kan op drie maniere opgelos word:

  1. Faktorisering
  2. Kwadratiese formule
  3. Iteratiewe metode

Faktorisering van 'n kwadratiese vergelyking[wysig]

Standaard vorme:

1) \quad ax^2 - b = \left (\sqrt{a}x - \sqrt{b} \right )^2

2) \quad x^2 + 2ax + a^2 = \left ( x + a \right )^2            of            x^2 + Ax + \left (\frac{A}{2} \right)^2 = \left ( x + \frac{A}{2} \right )^2

3) \quad a^2x^2 + 2abx + b^2 = \left ( ax + b \right )^2


Voorbeeld 1

x^2 + x - 6 = 0       kan ook soos volg geskryf word:

(x+3)(x-2) = 0

Dus is       x+3 = 0       of       x-2 = 0

Dus is       x = -3       of       x = 2


Voorbeeld 2

4x^2 - 9 = 0 kan ook soos volg geskryf word:


\left (\sqrt{4}x - \sqrt{9} \right )^2 = (2x - 3 )^2 = 0

Dus is       2x - 3 = 0 \qquad \Rightarrow \qquad x=\frac{3}{2}

Kwadratiese formule[wysig]

Om die kwadratiese formule af te lei, kyk ons na die volgende voorbeeld:

1) \ 2x^2 + 4x - 4 = 0

Deel elke term nou met 2:

2) \ x^2+2x-2=0
3) \ x^2+2x=2
4) \ x^2+2x+1=2+1
5) \ \left(x+1 \right)^2=3
6) \ x+1=\pm\sqrt{3}
7) \ x=-1\pm\sqrt{3}


Doen nou dieselfde vir die algemene vergelyking:

1) \ ax^2 + bx + c = 0

Deel elke term nou met a:

2) \ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0
3) \ x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}

As                 x^2 + Ax + \left (\frac{A}{2} \right)^2 = \left ( x + \frac{A}{2} \right )^2       (kyk standaard vorme), skryf dan die formule soos volg:

4) \ x^2 + \frac{b}{a}x + \left (\frac{b}{2a} \right )^2  = \left (\frac{b}{2a} \right )^2 -\frac{c}{a} = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}
5) \ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}
6) \ x + \frac{b}{2a} = \pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}
7) \ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}

Kyk ook[wysig]