Logaritme

in Wikipedia, die vrye ensiklopedie
Spring na: navigasie, soek
Grafiek van ln(x) en log10(x)

'n Logaritme is 'n wiskundige funksie, gewoonlik afgekort tot log. Die logaritmiese funksie word gedefinieer as die inverse van 'n eksponensiële funksie ('n mag met vaste grondtal, as funksie van die eksponent). Om dit duidelik te spesifiseer word die grondtal benodig.

Die volgende drie logaritmes word dikwels gebruik:

  • Logaritmes met grondtal 10. Mens praat van 'n Briggse logaritme en noteer dit as log, log10, lg of 10log.
  • Logaritmes met grondtal e. Mens praat hier van 'n natuurlike logaritme, of Neperiaanse of Neperse logaritme, na die uitvinder John Napier. Die natuurlike logaritme word dikwels genoteer as ln, maar mense skryf ook soms log in vakgebiede waarby dit vanselfsprekend is dat die natuurlike logaritme bedoel word.
  • Logaritmes met grondtal 2. Die tipe logaritmes kom algemeen in rekenaarwetenskap voor. Hulle word dikwels genoteer as log2 of 2log, lb of kortweg log, as gesien in die konteks, die grondtal 2 vanselfsprekend is.

Definisie[wysig]

Die logaritme vir die grondtal a van 'n getal x is die mag waartoe mens die grondtal a moet verhef om x as uitkoms te kry, dus:

q=\log_a(x) \Longleftrightarrow a^q=x.

Of anders geskryf:

a^{\log_a(x)}=x.

Sowel die grondtal a as die argument x moet groter as 0 wees; bowendien mag a nie gelyk aan 1 wees nie.

Die logaritme vir die grondtal a is dus die inverse van die eksponensiële funksie met a as grondtal. Wanneer mens die grafiek van die logaritme vir die grondtal a teken ten opsigte van die lyn y=x, kry mens die grafiek van die funksie x → ax.

Die logaritme van 0 met 'n grondtal is nie gedefinieer nie, omdat daar geen mag bestaan met welke grondtal ook al wat nul is nie. Daarom het elke grafiek van 'n logaritme 'n asimptoot by nul.

Wanneer die grondtal a nie gespesifiseer word nie, dan is dit 10. Dus:

\log x = y kan ook geskryf word as 10^y = x

Ook is:

\log x^y = y\log x


Gewone of briggse logaritme[wysig]

Die gewone of briggse logaritme, log, is die logaritme met die grondtal 10. Voor die koms van sakrekenaars is hierdie logaritme baie by berekeninge gebruik.

Natuurlike of neperiaanse logaritme[wysig]

Die natuurlike logaritme, dikwels geskryf as ln, maar in wiskunde gewoonweg as log, is die logaritme met die grondtal e = 2,718281828... :

\ln(x) = {}^{e}\!\log(x) \,

In plaas van loga(x) word dit ook as alog(x) geskryf. By 'n n-tallige getalstelsel word die a in loga(x) dikwels nie genoteerd wanneer hierdie gelyk is aan n nie. So word in die normale tientallige stelsel log(x) genoteer, waar log10(x) bedoel word.

Graph of common logarithm.png
Grafiek van die logaritme met grondtal 10 as funksie van x.
Let op: aan die linkerkant van die grafiek het die logaritme 'n asimptoot na oneindig soos x al klein word.

Voorbeelde[wysig]

In die praktyk is log veral handig om oplossings vir x te vind in die volgende vergelyking:

a^x = b

Dus is:

\log a^x = \log b
x \log a = \log b
x = \frac{\log b}{\log a}

Kyk ook[wysig]