Driehoeksverdeling

In waarskynlikheidsteorie en statistiek is die driehoeksverdeling 'n kontinue waarskynlikheidsverdeling met:

Die totale oppervlak van die driehoek stel 'n 100% waarskynlikheid voor. Dus moet die oppervlak van die driehoek gelyk wees aan 1.

Oppervlak={\frac {1}{2}}basis\times hoogte

1={\frac {1}{2}}(b-a)\times h\qquad \Rightarrow \qquad h={\frac {2}{b-a}}

Genereer ewekansige getalle wat driehoekige verspreiding het

Om ewekansige variansies X te genereer tussen a en b, met waarskynlikheid U kan dit soos volg gedoen word:

By c is die waarskynlikheid:

U_{c}={\frac {1}{2}}\times basis\times h\qquad =\qquad {\frac {1}{2}}\times (c-a)\times {\frac {2}{b-a}}\qquad =\qquad {\frac {c-a}{b-a}}

Gestel $a<X_{1}<c$ en U is die oppervlak van die grys driehoek:

U={\frac {1}{2}}\times basis\times h_{1}

Omdat driehoek $ach$ gelykvormig is aan driehoek $aX_{1}h_{1}$ :

{\frac {h_{1}}{h}}={\frac {X_{1}-a}{c-a}}

h_{1}={\frac {X_{1}-a}{c-a}}\times h={\frac {X_{1}-a}{c-a}}\times {\frac {2}{b-a}}={\frac {2(X_{1}-a)}{(b-a)(c-a)}}

Dus:

U={\frac {1}{2}}\times (X_{1}-a)\times {\frac {2(X_{1}-a)}{(b-a)(c-a)}}

U={\frac {(X_{1}-a)^{2}}{(b-a)(c-a)}}

(X_{1}-a)^{2}=U(b-a)(c-a)

X_{1}=a+{\sqrt {U(b-a)(c-a)}}

Gestel $c<X_{2}<b$ en U is die oppervlak van die grys gedeelte, dan is 1-U die oppervlak van die groen driehoek:

1-U={\frac {1}{2}}\times basis\times h_{1}

Omdat driehoek $bch$ gelykvormig is aan driehoek $bX_{2}h_{2}$ :

{\frac {h_{2}}{h}}={\frac {b-X_{2}}{b-c}}

h_{2}={\frac {b-X_{2}}{b-c}}\times h={\frac {b-X_{2}}{b-c}}\times {\frac {2}{b-a}}={\frac {2(b-X_{2})}{(b-a)(b-c)}}

Dus:

U={\frac {1}{2}}\times (b-X_{2})\times {\frac {2(b-X_{2})}{(b-a)(b-c)}}

U={\frac {(b-X_{2})^{2}}{(b-a)(b-c)}}

(b-X_{2})^{2}=U(b-a)(b-c)

X_{2}=b-{\sqrt {U(b-a)(b-c)}}

Indien:

U_{c}={\frac {1}{2}}\times (c-a)\times h={\frac {1}{2}}\times (c-a)\times {\frac {2}{b-a}}={\frac {c-a}{b-a}}

en U is 'n reeks ewekansige getalle tussen 0 en 1, dan gaan die volgende formules 'n reeks van getalle gee (X) met 'n driehoekige verspreidingː

X={\begin{cases}a+{\sqrt {U(b-a)(c-a)}}&{\text{ vir }}0<U_{c}<F(c)\\&\\b-{\sqrt {(1-U)(b-a)(b-c)}}&{\text{ vir }}F(c)\leq U_{c}<1\end{cases}}

In Excel gaan die formule soos volg lyk:

IF(ewekansig < (c-a) / (b-a), a + SQRT(ewekansig * (b-a) * (c-a)), b - SQRT( (1-ewekansig) * (b-a) * (b-c)))

waar ewekansig = RAND()

Om 'n reeks getalle in Excel te gegenereer wat 'n normaalverspreiding het, kan die volgende formule gebruik word:

=NORMINV(RAND(), 0.5, 0.2)

Waar 0.5 die gemiddeld is en 0.2 die standaardafwyking is.