Fermat se spiraal

Fermat se spiraal of paraboliese spiraal is 'n vlakkromme met die eienskap dat die oppervlakte tussen enige twee opeenvolgende volle windings om die spiraal onveranderlik is. Gevolglik groei die afstand tussen windings in omgekeerde verhouding tot hul afstand vanaf die spiraalmiddelpunt. Fermat-spirale is vernoem na Pierre de Fermat.

Koördinaatvoorstelling

Poolkoördinatestelsel

Die voorstelling van die Fermat-spiraal in poolkoördinate (r, φ) word gegee deur die vergelyking $r=\pm a{\sqrt {\varphi }}$ vir φ ≥ 0.

Die parameter $a$ is 'n skaalfaktor wat die grootte van die spiraal beïnvloed, maar nie die vorm daarvan nie.

Die twee keuses van teken gee die twee takke van die spiraal, wat glad by die oorsprong ontmoet. As dieselfde veranderlikes herinterpreteer word as Cartesiese koördinate, sou dit die vergelyking van 'n parabool met horisontale as wees, wat weer twee takke bo en onder die as het, wat by die oorsprong ontmoet.

Cartesiese koördinate

Die Fermat-spiraal met poolvergelyking $r=\pm a{\sqrt {\varphi }}$ kan omgeskakel word na die Cartesiese koördinate (x, y) deur die standaard omskakelingsformules x = r cos φ en y = r sin φ te gebruik. Deur die poolvergelyking vir die spiraal te gebruik om r uit hierdie omskakelings te elimineer, word parametriese vergelykings vir een tak van die kromme geproduseer:

${\begin{cases}x(\varphi )=+a{\sqrt {\varphi }}\cos(\varphi )\\y(\varphi )=+a{\sqrt {\varphi }}\sin(\varphi )\end{cases}}$

en die tweede een

${\begin{cases}x(\varphi )=-a{\sqrt {\varphi }}\cos(\varphi )\\y(\varphi )=-a{\sqrt {\varphi }}\sin(\varphi )\end{cases}}$

Hulle genereer die punte van takke van die kromme soos die parameter φ oor die positiewe reële getalle strek.

Daar kan aangetoon word dat enige $(x,y)$ wat op hierdie manier gegenereer word, herrangskik kan word om

${\frac {x}{y}}=\cot \left({\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}\right)$

te gee.

• 
  Spiraal van Fermat met een tak
• 
  Spiraal van Fermat met albei takke
• 
  Die oppervlakte tussen die opeenvolgende windings van Fermat se spiraal is onveranderlik.

Ander eiendomme

Oppervlakte tussen boë

Die oppervlakte van 'n sektor van Fermat se spiraal tussen twee punte (r(φ₁), φ₁) en (r(φ₂), φ₂) is

$A={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}r(\varphi )^{2}\,d\varphi$

Evaluering van hierdie integraal gee:

$A=a^{2}\pi \left(\varphi _{2}-\varphi _{1}\right).$

Dus hang die oppervlakte slegs af van n die waarde van $\left(\varphi _{2}-\varphi _{1}\right)$, nie van die individuele waardes van $\varphi _{1}$ en $\varphi _{2}$ nie. Dit word in die bostaande diagram geïllustreer waar $A_{1}=A_{2}=A_{3}$.