Möbiusband
'n Möbiusband, -strook of -ring is 'n tweedimensionele topologiese struktuur: 'n ruimtelike figuur wat slegs een oppervlak en een rand het. Alhoewel die strook uit 'n vlak bestaan, kan dit slegs in drie dimensies bestaan. Vanaf enige punt op die figuur lyk dit asof mens twee sye en twee rande sien, maar indien mens 'n rand of 'n sy vanaf een punt volg, vind mens by terugkeer dat mens oënskynlik ook die ander rand of sy deurgeloop het. Dit kan gevorm kan word deur die punte van 'n strook papier met 'n halwe draai aan mekaar te heg.
Die Möbiusband is 'n nie-oriënteerbare oppervlak, wat beteken dat mens daarbinne nie konsekwent kloksgewyse van antikloksgewyse draaie kan onderskei nie. Elke nie-oriënteerbare oppervlak bevat 'n Möbiusband. As 'n abstrakte topologiese ruimte kan die Möbiusband op baie verskillende maniere in driedimensionele Euklidiese ruimte ingebed word: 'n kloksgewyse halfdraai verskil van 'n antikloksgewyse halfdraai, en dit kan ook ingebed word met onewe getalle half draaie groter as een, of met 'n geknoopte middellyn. Enige twee inbeddings met dieselfde knoop vir die middellyn en dieselfde hoeveelheid half draaie met dieselfde rigting, is topologies ekwivalent. Al hierdie inbeddings het slegs een sy, maar wanneer dit in ander ruimtes ingebed word, kan die Möbiusband twee sye hê. Dit het slegs 'n enkele rand.
Die figuur is vernoem na die wiskundige en sterrekundige August Ferdinand Möbius van Leipzig, wat dit in 1858 ontdek het. Min of meer gelyktydig met Möbius, ook in 1858, maar onafhanklik, het die wiskundige en fisikus Johann Benedict Listing van Göttingen ook die band ontdek. Dit het egter reeds voorgekom in Romeinse mosaïeke uit die 3de eeu n.C.
Dis maklik om jou eie Möbiusband te maak: neem 'n strook papier, bring die punte bymekaar en draai die een punt 'n halwe draai. Plak dan die punte aanmekaar. Ontdek die eienskappe daarvan deur te probeer om die een kant rooi en die ander blou te kleur.
Indien die strook in die lengte geknip word, word 'n enkele ring van dubbele lengte geskep.
Die konsep is verwant aan die Klein-bottel.
Geskiedenis
[wysig | wysig bron]
Die ontdekking van die Möbius-strook as 'n wiskundige voorwerp word onafhanklik toegeskryf aan die Duitse wiskundiges Johann Benedict Listing en August Ferdinand Möbius in 1858. Dit was egter lank tevore bekend, beide as 'n fisiese voorwerp en in artistieke uitbeeldings; in die besonder kan dit gesien word in verskeie Romeinse mosaïeke uit die derde eeu n.C. In baie gevalle beeld hierdie mosaïeke bloot opgerolde linte as grense uit. Wanneer die aantal halfdraaie onewe is, is hierdie linte Möbiusbande, maar met 'n gelyke getal halfdraaie is hulle topologies ekwivalent aan 'n sirkelring. Daarom kan dit toevallig wees, eerder as doelbewus, dat die lint 'n Möbiusband is. In ten minste een geval is 'n lint met verskillende kleure aan verskillende kante met 'n onewe aantal halfdraaie geteken, wat die kunstenaar gedwing het om 'n lomp regstelling te maak op die punt waar die kleure nie ooreengestem het nie. Nog 'n mosaïek uit Sentinum (uitgebeeld) toon die diereriem (sodiak), wat deur die godheid Eon vasgehou word, as 'n band met slegs 'n enkele halfdraai. Daar is geen duidelike bewyse dat die eensydigheid van hierdie visuele voorstelling van hemelse tyd doelbewus was nie; dit kon bloot gekies gewees het as 'n manier om al die tekens van die sodiak aan die sigbare kant van die strook te laat verskyn. Daar word ook beweer dat ander antieke afbeeldings van die Ouroboros of van agtvormige versierings Möbiusstroke uitbeeld, maar of hulle bedoel was om plat stroke van enige tipe uit te beeld, is onduidelik.
Onafhanklik van die wiskundige tradisie, weet masjiniste lank reeds dat aandryfbande half so vinnig verslyt wanneer hulle Möbiusstroke vorm, omdat die hele oppervlak van die band gebruik word eerder as net die binneste oppervlak van 'n ongedraaide band. Daarbenewens kan so 'n band minder geneig wees om van kant tot kant te krul. 'n Vroeë geskrewe beskrywing van hierdie tegniek dateer uit 1871, ná die eerste wiskundige publikasies rakende die Möbiusband. 'n Veel vroeëre uitbeelding van 'n toupomp in 'n werk van Ismail al-Jazari uit 1206 beeld 'n Möbiusbandkonfigurasie as aandrywingsketting uit. Nog 'n gebruik van hierdie oppervlak is deur naaldwerksters in Parys gemaak (op 'n ongespesifiseerde datum): hulle het beginners geïnisieer deur van hulle te vereis om 'n Möbiusstrook as 'n kraag op 'n kledingstuk te stik.
Sien ook
[wysig | wysig bron]Bronnelys
[wysig | wysig bron]- Pickover, Clifford A. (2005). The Möbius Strip: Dr. August Möbius's Marvelous Band in Mathematics, Games, Literature, Art, Technology, and Cosmology. Thunder's Mouth Press. ISBN 978-1-56025-826-1.
- Larison, Lorraine L. (1973). "The Möbius band in Roman mosaics". American Scientist. 61 (5)
- Cartwright, Julyan H. E.; González, Diego L. (2016). "Möbius strips before Möbius: topological hints in ancient representations". The Mathematical Intelligencer. 38 (2)
