Niven se stelling

in Wikipedia, die vrye ensiklopedie
Jump to navigation Jump to search

In wiskundeNiven se stelling (genoem na Ivan Niven) dat die enigste rasionale waardes van θ in the interval 0° ≤ θ ≤ 90° waarvoor die sinus van θ grade ook rasionaal is, die hoeke in die volgende drie gevalle is:[1]

In radiale word vereis dat 0 ≤ x ≤ π/2, dat x/π rasionaal is, en dat sin x rasionaal is. Die stelling geld dus vir sin 0 = 0, sin π/6 = 1/2, en sin π/2 = 1.

Die stelling verskyn as Corollarium 3.12 in Niven se boek oor irrasionale getalle.[2]

Die stelling kan ook na die ander trigonometriese funksies uitgebrei word.[2] Vir rasionale waardes van θ is die enigste rasionale waardes van die sinus of kosinus 0, ±1/2, en ±1; die enigste rasionale waardes van die sekans of kosekans is ±1 en ±2, en die enigste rasionale waardes van die tangens of kotangens is 0 en ±1.[3]

Sien ook[wysig | wysig bron]

Verswysings[wysig | wysig bron]

  1. Schaumberger, Norman (1974). “A Classroom Theorem on Trigonometric Irrationalities”. Two-Year College Mathematics Journal 5: 73–76.
  2. 2,0 2,1 Niven, Ivan (1956). Irrational Numbers. The Carus Mathematical Monographs. The Mathematical Association of America. p. 41. MR 0080123.
  3. A proof for the cosine case appears as Lemma 12 in (2004) “Fermat's last theorem for rational exponents”. American Mathematical Monthly 111 (4): 322–329. doi:10.2307/4145241.

Verdere leesstof[wysig | wysig bron]

  • (1945) “Rational values of trigonometric functions”. Am. Math. Monthly 52: 507–508.
  • Lehmer, Derik H. (1933). “A note on trigonometric algebraic numbers”. Am. Math. Monthly 40: 165–166.

Eksterne skakels[wysig | wysig bron]