Niven se stelling
Hierdie artikel is 'n weesbladsy. Dit is nie geskakel of in ander bladsye ingesluit nie. Help Wikipedia deur na moontlike teks te soek en 'n skakel hierheen te plaas. |
In wiskunde sê Niven se stelling (genoem na Ivan Niven) dat die enigste rasionale waardes van θ in the interval 0° ≤ θ ≤ 90° waarvoor die sinus van θ grade ook rasionaal is, die hoeke in die volgende drie gevalle is:[1]
In radiale word vereis dat 0 ≤ x ≤ π/2, dat x/π rasionaal is, en dat sin x rasionaal is. Die stelling geld dus vir sin 0 = 0, sin π/6 = 1/2, en sin π/2 = 1.
Die stelling verskyn as Corollarium 3.12 in Niven se boek oor irrasionale getalle.[2]
Die stelling kan ook na die ander trigonometriese funksies uitgebrei word.[2] Vir rasionale waardes van θ is die enigste rasionale waardes van die sinus of kosinus 0, ±1/2, en ±1; die enigste rasionale waardes van die sekans of kosekans is ±1 en ±2, en die enigste rasionale waardes van die tangens of kotangens is 0 en ±1.[3]
Sien ook
[wysig | wysig bron]- Pythagorese drietalle vorm regte hoeke waar die trigonometriese funksies altyd rasionale waardes aanneem, alhoewel die skerphoeke nie rasionaal is nie
- Trigonometriese funksies
- Trigonometriese getal
Verswysings
[wysig | wysig bron]- ↑ Schaumberger, Norman (1974). "A Classroom Theorem on Trigonometric Irrationalities". Two-Year College Mathematics Journal. 5: 73–76. JSTOR 3026991.
- ↑ 2,0 2,1 Niven, Ivan (1956). Irrational Numbers. The Carus Mathematical Monographs. The Mathematical Association of America. p. 41. MR 0080123.
- ↑ A proof for the cosine case appears as Lemma 12 in Bennett, Curtis D.; Glass, A. M. W.; Székely, Gábor J. (2004). "Fermat's last theorem for rational exponents". American Mathematical Monthly. 111 (4): 322–329. doi:10.2307/4145241. MR 2057186.
Verdere leesstof
[wysig | wysig bron]- Olmsted, J. M. H. (1945). "Rational values of trigonometric functions". Am. Math. Monthly. 52 (9): 507–508. JSTOR 2304540.
- Lehmer, Derik H. (1933). "A note on trigonometric algebraic numbers". Am. Math. Monthly. 40 (3): 165–166. JSTOR 2301023.
Eksterne skakels
[wysig | wysig bron]- Weisstein, Eric W., Niven se stelling op MathWorld.
- Niven se stelling op ProofWiki