Sferiese Driehoeksmeting

'n Tipiese sferiese driehoek

Sferiese Driehoeksmeting is die tak van sferiese meetkunde en driehoekmetings wat handel oor die metriese verwantskappe tussen die sye en hoeke van sferiese driehoeke, tradisioneel uitgedruk deur middel van trigonometriese funksies. Op die sfeer is geodete grootsirkels. Sferiese driehoekmetings is van groot belang vir berekeninge in sterrekunde, geodesie en navigasie.

Die oorsprong van sferiese driehoekmetings in Griekse wiskunde en die belangrikste ontwikkelings in Islamitiese wiskunde word volledig bespreek in Geskiedenis van trigonometrie en Wiskunde in Middeleeuse Islam. Die onderwerp het in die vroeë moderne tyd tot stand gekom met belangrike ontwikkelings deur John Napier, Delambre en ander. Sedertdien was beduidende ontwikkelings die toepassing van vektormetodes, kwaternionmetodes en die gebruik van numeriese metodes.

Notasie

In sferiese driehoekmetings is dit die gewoonte om punte op die oppervlak van die sfeer met hoofletters $A$, $B$, $C$, ens. aan te dui. Die hoeke wat deur die driehoek by elk van hierdie punte gevorm is, is aangedui deur die Griekse letters $\alpha ,\beta ,\gamma$.

Die lengtes van boë word gewoonlik gedefinieer deur die hoek wat hulle by die middelpunt van die sfeer onderspan, eerder as deur hul fisiese lengte. Indien 'n boog 'n lengte $l$ het en die sfeer 'n radius $r$ het, dan is die hoek wat by die middelpunt van die sfeer onderspan word gegeë deur

$\theta ={\frac {l}{r}}$

Hierdie hoeke van hierdie boë word deur klein letters $a$, $b$, $c$, ens aangedui.

Formules

Boë en hoeke

Die verband tussen die hoek en sye van 'n sferiese driehoek word deur die formules gegee:

Sinus wet

${\frac {sin(a)}{sin(\alpha )}}={\frac {sin(b)}{sin(\beta )}}={\frac {sin(c)}{sin(\gamma )}}$

Cosinus wet

$cos(a)=cos(b)cos(c)+sin(b)sin(c)cos(\alpha )$

$cos(\alpha )=cos(\beta )cos(\gamma )+sin(\beta )sin(\gamma )cos(a)$

Oppervlak

Die oppervlakte $A$ van 'n sferiese driehoek wat op 'n sfeer met radius $r$ ingeskryf is, is gegee deur:

$A=r^{2}(\alpha +\beta +\gamma -\pi )$ Let wel - Hierdie hoeke moet in radiale uitgedruk word.