Wiskundige logika

Wiskundige logika is 'n subveld van wiskunde wat die toepassing van formele logika in wiskunde ondersoek. Dit het 'n noue verband met metawiskunde, die Grondslae van Wiskunde en teoretiese Rekenaarwetenskap. Die verenigende temas in wiskundige logika sluit die studie van die ekspressiewe krag van formele stelsels en die deduktiewe redenasiekrag van formele bewysstelsels in.

Wiskundige logika word dikwels verdeel in die velde van stel teorie, model teorie resion teorie, en bewys teorie. Hierdie gebiede deel basiese resultate op logika, veral eerste-orde logika, en definability. In Rekenaarwetenskap (veral in die ACM klassifikasie) wiskundige logika omvat bykomende onderwerpe wat nie in hierdie artikel uiteengesit word nie; sien logika in Rekenaarwetenskap vir diegene.

Sedert sy ontstaan, het wiskundige logika beide bygedra tot, en is gemotiveer deur, die studie van die Grondslae van wiskunde. Hierdie studie het begin in die laat 19th eeu met die ontwikkeling van axiomatiese raamwerke vir meetkunde rekenkundige, en analise. In die vroeë 20ste eeu is dit gevorm deur David Hilbert program om die konsekwentheid van fundamentele teorieë te bewys. Resultate van Kurt Gödel, Gerhard Gentzen, en ander verskaf gedeeltelike resolusie aan die program, en verduidelik die kwessies wat betrokke is in die bewys van konsekwentheid. Werk in vasgestelde teorie het getoon dat bykans alle gewone Wiskunde in terme van stelle geformaliseer kan word, alhoewel daar 'n paar stellings is wat nie bewys kan word in algemene aksioma-stelsels vir vasgestelde teorie nie. Kontemporêre werk in die fondamente van Wiskunde fokus dikwels op die vestiging van watter dele van Wiskunde in besonder formele stelsels (soos in omgekeerde wiskunde) kan formaliseer, eerder as om te probeer om teorieë te vind waarin die hele wiskunde ontwikkel.

Subvelde en omvang

Die Handboek van Wiskundige Logika (Barwise 1989) maak 'n rowwe afdeling van kontemporêre wiskundige logika in vier gebieds:

1. stel teorie
2. model teorie
3. rekursie teorie, en
4. bewys teorie en konstruktiewe wiskunde (word beskou as dele van 'n enkele gebied).

Elke gebied het 'n duidelike fokus, hoewel baie tegnieke en resultate is gedeel onder verskeie gebiede. Die borderlines onder hierdie velde, en die lyne skei wiskundige logika en ander velde van Wiskunde, is nie altyd skerp. Gödel's involledigheid stelling punte nie net 'n mylpaal in resion teorie en bewys teorie, maar het ook gelei tot Löb's stelling in modale logika. Die metode van dwing is in diens van die stel teorie, modelteorie, en resion teorie, asook in die studie van intuitionistic wiskunde.

Die wiskundige veld van kategorie teorie gebruik baie formele axiomatiese metodes, en sluit die studie van kategorcal logika in, maar kategorie teorie word nie gewoonlik as 'n subveld van wiskundige logika beskou nie. As gevolg van sy toepaslikheid in diverse gebiede van Wiskunde, wiskundiges insluitend Saunders Mac Lane het voorgestelde kategorie teorie as 'n fundamentele stelsel vir wiskunde, onafhanklik van die stel teorie. Hierdie fondamente gebruik topos, wat lyk na algemene modelle van stel teorie wat klassieke of nie-klassieke logika kan gebruik.