Roos (wiskunde)

in Wikipedia, die vrye ensiklopedie
Spring na: navigasie, soek
Roos met k = 7 blare
Roos met 8 blare (k=4).
Roos krommes gedefinieer deur r=\sin k \theta, vir verskeie waardes van k=n/d.

In wiskunde is 'n roos of rhodonea kromme 'n sinusoïed wat in poolkoördinate afgetrek is. Tot met soortgelykheid kan al hierdie krommes uitgedruk word deur 'n poolvergelyking van die vorm

\!\,r=\cos(k\theta).

As k 'n heelgetal is sal die kromme 'n roos met *2k blomblare is as k ewe is, en

  • k blomblare as k onewe is.

As k ewe is sal die hele grafiek een keer afgetrek word presies een keer soos die waarde van θ verander van 0 tot 2π. As k onewe is, sal dit gebeur in die interval tussen 0 en π. (Meer algemeen sal dit gebeur op enige interval van lengte 2π vir k ewe, en π vir k onewe.)

As k is rasionaal is, dan is die kromme geslote en het dit 'n eindige lengte. As k irrasionaal is, dan is dit nie geslote nie en het dit oneindige lengte. Verder vorm die grafiek van die roos in hierdie geval'n digte versameling (i.e., dit kom arbitrêr na aan elke punt in die eenheidskyf).

Aangesien

\sin(k \theta) = \cos\left( k \theta - \frac{\pi}{2} \right) = \cos\left( k \left( \theta-\frac{\pi}{2k} \right) \right)

vir alle \theta, is die krommes gegee deur die poolvergelykings

\,r=\sin(k\theta) en \,r = \cos(k\theta)

identies behalwe vir 'n rotasie van π/2k radiale.

Rhodonea krommes is deur die Italiaanse wiskundige Guido Grandi genoem tussen 1723 en 1728.[1]

Oppervlak[wysig]

'n Roos waarvan die poolvergelyking van die vorm

r=a \cos (k\theta)\,

is, waar k 'n postiewe heelgetal is, het oppervlak


    \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}(a\cos (k\theta))^2\,d\theta = \frac {a^2}{2} \left(\pi + \frac{\sin(4k\pi)}{4k}\right) = \frac{\pi a^2}{2}

as k ewe is, en


    \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}(a\cos (k\theta))^2\,d\theta = \frac {a^2}{2} \left(\frac{\pi}{2} + \frac{\sin(2k\pi)}{4k}\right) = \frac{\pi a^2}{4}

as k onewe is.

Dieselfde geld vir rose met poolvergelykings van die vorm

r=a \sin (k\theta)\,

aangesien grafieke van hierdie net stywe rotasies is van die rose wat deur die cosinus gedefinieer word.

Sien ook[wysig]

Verwysings[wysig]

  1. O'Connor, John J; Edmund F. Robertson "Rhodonea". MacTutor History of Mathematics archive.  

Eksterne skakels[wysig]