Integraalrekening

Die oppervlakte van S is die integraal van f(x) tussen die kurwe y = f(x) en die x-as in die interval [a, b].

Die Integraalrekening is 'n onderdeel van wiskunde en dan spesifiek van analise. Integrasie verwys na die berekening van integrale, wat in die eenvoudigste geval as die area onder 'n grafiek beskou kan word. Indien dit 'n grafiek van die spoed van 'n voorwerp teenoor die tydsverloop is, sal die integraal die totale afstand wees wat die voorwerp afgelê het. In so geval praat mens van 'n tydsintegraal. As 'n funksie die massadigtheid van 'n voorwerp gee, dan sal die integraal van die funksie oor die volume die totale massa gee. In so geval praat mens van 'n volume-integraal.

Integrasie is nou verwant aan differensiaalrekening, aangesien hierdie twee as teenoorgestelde of inverse prosesse beskou kan word. Dit word deur die fundamentele stelling van die kalkulus beskryf. Die nuttigheid hiervan spruit uit die feit dat dit 'n manier gee om integrale deur middel van differensiasie te bereken: as 'n funksie gelyk is aan die afgeleide van 'n tweede funksie, dan is die integraal (of anti-differensiaal) van die eerste funksie gelyk aan die oorspronklike tweede funksie. Dit is nuttig omdat dit gewoonlik baie moeilik is om 'n funksie se integraal direk te bereken, terwyl dit baie makliker is om afgeleides te bepaal.

Wiskundige voorstelling

Die integraal van die kromme f(x) word aangedui deur óf

$I(x)=\int f(x)dx+k$ (waar geen interval gedefinieer is en $k$ is die integrasiekonstante).

óf

$S=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=I(b)-I(a)$ (waar die inerval is $[a,b]$. Sien beeld regs bo.)

Die omgekeerde bewerking van integrasie is differensiasie, dus

${\frac {dI}{dx}}=f(x)$

Wanneer die limiete omgeruil is, verander die teken van die integraal, dus

$S=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx\rightarrow \int \limits _{b}^{a}f(x)dx=-S$.

Standaard formules

$\int a\,dx=ax+k$

$\int x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+k$ (waar $n\neq -1$)

$\int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln x+k$

$\int e^{x}\,dx=e^{x}+k$

$\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+k$

$\int {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx=sin^{-1}x+k$

$\int {\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx=cos^{-1}x+k$

$\int {\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx=tan^{-1}x+k$

$\int {\frac {-1}{1+x^{2}}}\,dx=cot^{-1}x+k$

$\int {\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}\,dx=sec^{-1}x+k$

$\int {\frac {-1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}\,dx=cosec^{-1}x+k$

$\int \cos x\,dx=\sin x+k$

$\int \sin x\,dx=-\cos x+k$

$\int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+k$

$\int \sec x\tan x\,dx=\sec x+k$

$\int \csc x\cot x\,dx=-\csc x+k$

$\int \cos x\,dx=\sin x+k$

Integrasietegnieke

'n Aantal tegnieke is beskikbaar vir gebruik wanneer die integraal van 'n funksie nie met behulp van bogenoemde reëls bepaal kan word nie. Hierdie tegnieke word dikwels gebruik om die formules wat hierbo getoon word, af te lei.

Integrasie deur dele

Waneer dit moontlik is om $f(x)$ uit te druk as $u(x){\frac {dv}{dx}}$, kan die intgraal van $f(x)$ bepaal word deur die formule:

$I(x)=\int f(x)dx=\int u(x){\frac {dv}{dx}}dx=u(x)v(x)-\int v{\frac {du}{dx}}dx+k$ 

Voorbeeld: Bepaal $\int x\cos x$

Oplossing

Laat

$u(x)=x\rightarrow {\frac {du}{dx}}=1$

${\frac {dv}{dx}}=\cos x\rightarrow v(x)=\int \cos x=\sin x$

Dit volg dat

$\int x\cos x=x\sin x-\int \sin dx=x\sin x-\cos x+k$

Waneer $f(x)$ die vorm $x^{n}cos(x)$ het, dan moet hierdie tegniek $n$ mal uitgevoer word. By elke iterasie sal die eksponent van $x$ met een verminder word.

Integrasie deur substitusie

Wanneer integrasie deur substitusie plaasvind, word die veranderlike $x$ deur $g(u)$ vervang. Dus

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)}f(g(u)){\frac {dx}{du}}du$ 

Voorbeeld: Bepaal $\int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}dx$ (Die oppervlak van 'n halfsirkel)

Oplossing

Laat

$x=\cos \theta$

Dit volg dat

${\sqrt {1-x^{2}}}={\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}=\sin \theta$

${\frac {dx}{d\theta }}=-\sin \theta \rightarrow dx=-\sin \theta d\theta$

$g^{-1}(a)=\arccos(-1)=\pi$

$g^{-1}(b)=\arccos(1)=0$

met die gevolg dat

$\int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}dx=\int _{\pi }^{0}\sin \theta (-\sin \theta d\theta )=\int _{\pi }^{0}-\sin ^{2}\theta d\theta =\int _{\pi }^{0}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\cos(2\theta )d\theta =-\left.{\frac {\theta }{2}}+{\frac {\sin(2\theta )}{4}}\right\vert _{\pi }^{0}={\frac {\pi }{2}}$

Omgekeerde kettingreël

Waneer dit moontlik is om $f(x)$ uit te druk as ${g'(x)}{(g(x))^{n}}$, kan die intgraal van $f(x)$ bepaal word deur die formule:

$\int f(x)dx=\int {g'(x)}{(g(x))^{n}}dx={\frac {1}{n+1}}\int g(x)^{n+1}+k$ 

Voorbeeld: Bepaal $S=\int {\frac {\cos \theta }{(\sin \theta +\pi )^{3}}}d\theta$

Oplossing

Laat

$g(\theta )=\sin \theta +\pi \rightarrow g'(\theta )=\cos \theta$

$n=-3$

met die gevolg dat

$\int {\frac {\cos \theta }{(\sin \theta +\pi )^{3}}}d\theta =\int {\frac {d}{d\theta }}(\sin \theta +\pi ).(\sin \theta +\pi )^{-3}d\theta ={\frac {1}{-3+1}}(\sin \theta +\pi )^{-3+1}+k={\frac {-1}{2(\sin \theta +\pi )^{2}}}+k$

Kyk ook

• Kettingreël
• Differensiaalrekening
• Algebra