Silindriese koördinatestelsel

in Wikipedia, die vrye ensiklopedie
Spring na: navigasie, soek
'n Punt afgestip met silindriese koördinate

Die silindriese koördinatestelsel is 'n koördinatestelsel wat die tweedimensionele poolkoördinatestelsel uitbrei na drie dimensies deur 'n derde koördinaat by te voeg wat die hoogte van enige punt bo die vlak aandui, soortgelyk aan die manier waarop die Cartesiese koördinatestelsel na drie dimensies uitgebrei word.

Die notasie vir die koördinatestelsel is nie eenvormig nie. Die Standaard ISO 31-11 vestig dit egter as (\rho,\varphi,z). Nogtans word die asimut \varphi baie keer as \theta uigedruk. Verder word die radiale koördinaat ook r geneoem terwyl die vertikale koördinaat soms deur h uigedruk.

Die koördinateoppervlaktes van die silindriese koördinate (ρ, φ, z). Die rooi silinder vertoon die punte met ρ=2, die blou vlak die punte met z=1, en die geel halwe-vlak vertoon die punte met φ=-60°. Die z-as is vertikaal en die x-as is in groen gemerk. Die drie oppervlaktes sny by die punt P (wat met 'n swart bal aangetoon word) met die Cartesiese koördinate van P wat rofweg (1,0; -1,732; 1,0) is.

'n Punt P word aangegee as (\rho, \varphi, z). In terme van die Cartesiese koördinatestelsel:

  • \rho is die afstand van O na P', die ortogonale afbeelding van die punt P op die XY-vlak. Dit is dieselfde as die afstand van P na die z-as.
  • \varphi is die hoek tussen die positiewe x-as en die lyn OP', antikloksgewys gemeet.
  • z is dieselfde as die Cartesiese koördinaat z.

Die omskakeling van die funksie f van silindriese koördinate na Cartesiese koördinate is dus f(x,y,z)=(\rho\cos\varphi,\rho\sin\varphi,z)\,. Die omskakleing van funksie f van Cartesiese koördinate na silindriese koördinate is f(\rho,\varphi,z)=(\sqrt{x^{2}+y^{2}},\operatorname{atan2}(y,x),z)\,.

Let daarop dat atan2() funksie wat hierbo gebruik word nie standaard is nie: Dit lewer 'n waarde tussen 0 en 2π in plaas van tussen -π en π wat die standaard atan2() funksie gee.

Silindriese koördinate is nuttig vir die analise van oppervlaktes wat simmetries is om 'n as, met die z-as wat gekies word as die simmetrieas. Die oneindig lange sirkulêre silinder met die Cartesiese vergelyking \ x^2+y^2=c^2 het die baie eenvoudige vergelyking \ \rho = c in silindriese koördinate. Daarvandaan die naam "silindriese" koördinate.