Vektoranalise

in Wikipedia, die vrye ensiklopedie
Spring na: navigasie, soek

Vektoranalise is 'n afdeling van wiskunde, wat hom met die meerveranderlike analise van vektore bemoei. Vektoranalise verwys dan na 'n samehangende groep formules en oplosmetodes wat van groot praktiese belang en nut is, veral in fisika en ingenieurswese. Die oorsprong van vektoranalise lê in die analise van kwaternione, en is aanvanklik deur Joshia Willard Gibbs en Oliver Heaviside in die laat-negentiende eeu opgestel. Vektoranalise het egter die kwaternioon beskouing byna geheel en al vervang.

Die wiskundige voorwerpe wat in vektoranalise ondersoek word, is die vektorveld en die skalaarveld. In die meerderheid van die gevalle, is die vektorveld die gewone driedimensionele Euklidiese ruimte, en die skalaarveld die reële getalle. Die vektoranalise is dan veral geinteresseerd in die ruimte- en tydsafgeleidenes van hierdie vektore en skalare.

'n Alledaagse voorbeeld van 'n probleem wat in terme van vektoranalise gestel kan word, is die manier hoe die temperatuur van water in 'n swembad verander terwyl die water rondvloei. Die temperatuur vorm hier 'n skalaarveld: op elke punt in die swembad bestaan daar 'n skalaar waarde (die temperatuur). Die waterstroom in die swembad vorm 'n vektorveld: op elke punt in die swembad bestaan daar 'n vektor (die stroomsnelheid). Met behulp van vektoranalise kan daar dan bepaal word wat die temperatuur op 'n gegewe plek op 'n gegewe tydstip sal wees.

Vektoroperatore[wysig]

Vektoranalise bestudeer verskeie differensiale-operatore, en om die notasie te vereenvoudig word daar gewoonlik van die del operator gebruikgemaak. Hy word as \nabla geskryf en gewoonlik nabla genoem. Die vier belangrikste operatore is:

Operator Notasie Beskrywing Domein/Bereik
Gradiënt  \operatorname{grad}(f) = \nabla f Meet die tempo en rigting van verandering van 'n skalaarveld Beeld skalaarvelde af op vektorvelde.
Rotasie  \operatorname{rot}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F} Meet hoe die geneigdheid van die vektorveld om rondom 'n punt te draai. Beeld vektorvelde af op vektorvelde.
Divergensie  \operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F} Meet die grootte van 'n bron of sink in die vektorveld Beeld vektorvelde af op skalaarvelde.
Laplaciaan  \Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f 'n Samestelling van die divergensie en gradiënt operatore. Beeld skalaarvelde af op skalaarvelde.

Stellings[wysig]

Vir sommige van hierdie operatore is daar 'n stelling wat verwant is aan die fundamentele stelling van calculus, maar toepasbaar op hoërdimensionele funksies.

Naam van stelling Stelling Beskrywing
Gradiëntstelling  \varphi\left(\mathbf{q}\right)-\varphi\left(\mathbf{p}\right) = \int_L \nabla\varphi\cdot d\mathbf{r}. Die lynintegraal van die gradiënt is gelyk aan die verskil tussen die skalaarveld se waardes aan die eindpunte van die kromme.
Stelling van Stokes  \int_{\Sigma} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{\Sigma} = \oint_{\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r},

Die integraal van 'n vektorveld se rotasie oor 'n oppervlakte, is gelyk aan die lynintegraal van die vektorveld langs die kromme wat die oppervlak omsluit.

Stelling van Green \int_{C} L\, dx + M\, dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA Dit is 'n spesiale geval van die bogenoemde stelling van Stokes wanneer die oppervlak tot 'n plat vlak beperk word.
Divergensiestelling \iiint\limits_V\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dV=\iint\limits_{\part V}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}, Die integraal van die divergensie van 'n vektorveld oor 'n volume, is gelyk aan die fluks wat deur die volume se oppervlak stroom.