Kategorie (wiskunde)

in Wikipedia, die vrye ensiklopedie
Spring na: navigasie, soek

'n Kategorie is in wiskunde 'n algebraïese struktuur wat uit objekte en die afbeeldings tussen hierdie objekte bestaan. 'n Kategorie het twee basiese eienskappe: die vermoë om die afbeeldings assosiatief te komponeer en die bestaan van 'n identiteitsafbeelding vir elke objek. 'n Eenvoudige voorbeeld is \mathbf{Set}, die kategorie van versamelings, wie se objekte versamelings en afbeeldings funksies is. Aan die ander kant kan enige monoïde, en so-ook enige preorde, as 'n spesiale soort kategorie beskou word. Oor die algemeen kan die objekte en afbeeldings abstrakte entiteite van enige aard wees, en die idee van kategorie voorsien 'n fundamentele en abstrakte manier waarop wiskundige entiteite en hul verhoudinge beskryf kan word. Dít is inderdaad die sentrale idee van kategorieteorie, daardie vertakking van wiskunde wat poog om die hele wiskunde te veralgemeen in terme van objekte en afbeeldings, onafhanklik van wat die objekte en afbeeldings in der werklikheid voorstel. Feitlik elke vertakking van moderne wiskunde kan in terme van kategorieë beskryf word, en sodoende kom diepe insigte en ooreenkomste tussen skynbaar verskillende areas van wiskunde na vore. Vir meer uitgebreide motiverende agtergrond en historiese notas, sien kategorieteorie en die lys van kategorieteorie-onderwerpe.

Twee kategorieë is dieselfde indien hulle dieselfde versameling objekte, dieselfde versameling afbeeldings, en dieselfde assosiatiewe metode van komposisie van enige twee afbeeldings het. Twee kategorie mag ook as "ekwivalent" beskou word vir die doeleindes van kategorieteorie, al is hulle nie presies dieselfde nie.

Bekende kategorie word deur 'n kort gekapitaliseerde woord of afkorting in vet- of skuinsteks aangedui: voorbeelde sluit in \mathbf{Set}, die kategorie van versamelings en funksies; \mathbf{Ring}, die kategorie van ringe en ringhomomorfismes; en \mathbf{Top}, die kategorie van topologiese ruimtes en kontinue funksies. Al die voorgenoemde kategorieë het die identiteitsfunksie as identiteitsafbeelding en komposisie as die assosiatiewe bewerking op afbeeldings.

Die standaard teks op kategorieteorie is Categories for the working mathematician deur Saunders Mac Lane. Ander verwysings word in die Verwysings hieronder aangegee. Die basiese definisies in hierdie artikel word in die eerste paar hoofstukke van enige van hierdie boeke bevat.

Sien ook[wysig]

Verwysings[wysig]