Magsverheffing

in Wikipedia, die vrye ensiklopedie
Spring na: navigasie, soek

Magsverheffing is 'n wiskundige bewerking, waarby 'n getal (die faktor of die grondtal van die magsverheffing) herhaaldelik met homself vermenigvuldig word. Die grondtal x verhef tot die mag n word genoteer as xn wat beteken:


 \begin{matrix}
 x^n = &\underbrace{ x\cdot x\cdot \ldots \cdot x}\\& {n\ \mathrm{faktore}}
 \end{matrix}

Mens sê: x tot die mag n, of ook kortweg x tot die n-de.

So is 2 tot die mag 3, of 2 tot die derde: 2³ = 2×2×2 = 8, waar 2 die grondtal en 3 die eksponent van die mag 2³ is. Moenie die mag met die eksponent met mekaar verwar nie.

Voorbeelde:

  • 5^3=5\cdot{} 5\cdot{} 5=125
  • x^2=x\cdot{} x
  • 1^x = 1 vir enige getal x

Definisie[wysig]

Die nde mag van die grondtal x, genoteerd as x^n, is gedefinieer as die produk van n faktore x (met ander woorde: x*x*...; n keer).

Die gebruiklike notasie is om die eksponent n, wat die aantal faktore aangee, hoër te skryf (boskrif).

Deur die uitbreiding van die definisie met:

x^{-n}=\frac{1}{x^n}

kan negatiewe eksponente aangedui word.

'n Verdere uitbreiding is:

x^{\frac{m}{n}}=\left (\sqrt[n]{x}\right )^m,

waarmee gebroke eksponente voorgestel word.

Meer algemeen gedefinieer deur gebruik te maak van 'n logaritme en eksponensiële funksie:

a^x=\exp\left (x \cdot \log(a) \right )

Omgekeerde bewerkinge[wysig]

Omdat magsverheffing nie kommutatief is nie,

\mathbf{2^{3}=8} terwyl \mathbf{3^{2}=9},

is twee omkeer bewerkings nodig: worteltrek en logaritme

\mathbf{\sqrt[3]{8}=2} en \mathbf{^{2}\!\log8=3} t.o.v. \mathbf{\sqrt[2]{9}=3} en \mathbf{^{3}\!\log9=2}.

Mag hou verband met het begrip graad by polinome en vergelykings. 'n Tweedegraadse vergelyking is 'n vergelyking waarin die hoogste mag 2 is.

Berekeninge met magte[wysig]

Die onderstaande reëls kan gebruik word tydens berekeninge met magte:

  • x^a x^b=x^{a+b}\,
  • \frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}
  • \left(x^a \right)^b=x^{ab}
  • \left(xy \right)^a=x^a y^a
  • x^ \frac 1n=\sqrt[n]{x}\,

Enkele spesiale gevalle word hieronder genoem:

Vir a≠ 0 is:

  • a^0=1\,
  • a^{-1}=\frac 1a\,

Vir a>0 is:

  • 0^a=0\,

Afgeleides[wysig]

Stel die a-de mag van x op as funksie van x, dus vir sekere eksponent a:

f \left(x \right)=x^a

dan word die afgeleide gegee deur:

f' \left(x \right)=a x^{a-1}

Stel die mag op as funksie van die eksponent, dus vir sekere grondtal a:

g \left(x \right)=a^x

dan word die afgeleide gegee deur:

g' \left(x \right)=a^x \ln(a)

Sien ook[wysig]