Newton-Raphson-metode

in Wikipedia, die vrye ensiklopedie
(Aangestuur vanaf Newton-Raphson metode)
Spring na: navigasie, soek

Die Newton-Raphson metode (ook bekend as Newton se metode) is 'n iteratiewe metode wat gebruik word om vergelykings op te los wat andersins baie moeilik of onmoontlik is om algebraïs op te los. Dit is waarskynlik een van die beste en gewildste metodes om opeenvolgend beter benaderings tot die wortels van 'n reëlwaardige funksie te vind. Dié metode konvergeer dikwels verbasend vinnig, veral as die iterasie naby aan die verlangde wortel begin. Ongelukkig is dit ook waar dat dié metode vinnig kan wegbeweeg vanaf die verlangde wortel as die eerste iterasie ver van die wortel af begin het. Goeie algoritmes wat die metode insluit bevat daarom gewoonlik 'n metode om konvergensieprobleme op te spoor.

Probleemstelling[wysig | wysig bron]

Vir 'n gegewe funksie ƒ(x) wil ons die waarde van x bereken waar ƒ(x) = 0. Ons wil dus die wortel van de funksie bereken. Mens kan enige vergelyking in hierdie formaat skryf deur al die terme aan die regterkant na die linkerkant toe te skuif. Dan is x 'n oplossing van die vergelyking.

Beskrywing[wysig | wysig bron]

Gegewe 'n funksie ƒ(x) en sy afgeleide ƒ '(x), dan word daar begin met 'n eerste raaiskoot x0 .  'n Beter benadering x1 word dan verkry deur:

x_{1} = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}.\,\!

Hierdie formule word dan oor en oor toegepas om 'n ry opeenvolgend beter benaderings tot die antwoord te kry.

Bespreking[wysig | wysig bron]

'n Illustrasie van een iterasie van die metode (die funksie ƒ word in blou vertoon en die raaklyn is in rooi). Ons kan sien dat xn+1 'n beter benadering is as xn vir die wortel x van die funksie f.

Die gedagte agter die metode is as volg: 'n Mens begin met 'n aanvanklike raaiskoot wat redelik naby is aan die ware wortel, die funksie word dan benader deur sy raaklyn (wat bereken kan word deur van differensiasie gebruik te maak) wat mens dan in staat stel om die x-snypunt van die raaklyn te bereken (met behulp van gewone algebra). Hierdie x-snypunt sal tipies 'n beter benadering wees vir die funksie se wortel as die oorspronklike raaiskoot en die metode kan dan van daar herhaal word deur verder iterasies uit te voer.

Gestel ƒ : [ab] → R is 'n differensieërbare funksie gedefinieer op die interval [ab] met waardes in die reële getalle R. Die vergelyking vir die konvergensie na die wortel kan dan maklik afgelei word. Gestel ons het 'n benadering xn. Die vergelyking vir 'n beter benadering, xn+1 kan dan afgelei word deur te verwys na die diagram na regs. Ons weet uit die definisie van die afgeleide by 'n gegewe punt dat dit die helling van die raaklyn by 'n gegewe punt op die grafiek is.

Dit wil sê

f'(x_{n}) = \frac{ \mathrm{styging} }{ \mathrm{interval} } = \frac{ \mathrm{\Delta y} }{ \mathrm{\Delta x} } = \frac{ f( x_{n} ) - 0 }{ x_{n} - x_{n+1} }.\,\!

f ' stel die afgeleide van die funksie f voor. 'n Mens kan dan algebraïes aflei dat

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}. \,\!

Die proses word begin met 'n arbitrêre aanvangswaarde x0. (Hoe nader dit aan die wortel is des te beter. In die afwesigheid van enige kennis van waar die wortel mag lê, kan 'n "tref en trap" metode gebruik word om die moontlike ligging van die wortel oor 'n redelik klein interval te bepaal deur na die tussenwaarde stelling te verwys). Die metode sal gewoonlik kwadraties konvergeer in die gebied van die wortel, wat beteken dat die aantal korrekte desimale van die benadering met elke raaiskoot rofweg verdubbel.

Toepassing op minimering en maksimering[wysig | wysig bron]

Newton se metode kan ook gebruik word om die minimum of maksimum van 'n funksie te bepaal. Die afgeleide is nul by 'n minimum of 'n maksimum, dus kan minima en maksima gevind word deur Newton se metode op die afgeleide toe te pas. Die iterasie word dan:

x_{n+1} = x_n - \frac{f'(x_n)}{f''(x_n)}. \,\!

Meetkundige interpretasie[wysig | wysig bron]

Die metode kan baie maklik verstaan word as dit meetkundig beskou word:

NewtonIteration Ani.gif
  1. Kies 'n punt x1 op die x-as naby die nulpunt;
  2. Konstrueer 'n loodregte lyn op die x-as, deur x1;
  3. Konstrueer die raaklyn deur f(x1) aan die kromme f(x);
  4. Die nuwe benadering x2 word deur die snypunt van die raaklyn met die x-as gegee;
  5. Herhaal bogenoemde proses deur by x2 te begin.

Verdere gebruike[wysig | wysig bron]

'n Belangrike, maar ietwat verrassende, toepassing is Newton-Raphson deling, wat gebruik kan word om vinnig die omgekeerde van 'n getal te verkry deur slegs van vermenigvuldiging en aftrekking gebruik te maak.