Spiraal

in Wikipedia, die vrye ensiklopedie
Jump to navigation Jump to search
ContextFreeTutorial 01Spiral.png

'n Spiraal is 'n kurwe wat by 'n punt begin en as die kurwe om die beginpunt draai, beweeg dit verder weg. Spirale kan in twee of drie dimensies bestaan.

Spirale in twee dimensies[wysig | wysig bron]

In twee dimensies kan spirale in poolkoördinate gedefinieer word deur die vergelyking:

(waar 'n monototiese toenemende funksie is)

of in kartesiese koördinate deur

Die bekendste spirale sluit in:

Eienskappe[wysig | wysig bron]

Die eiendomme wat hier beskryf word, is van toepassing op die meeste spirale van die vorm , veral vir die gevalle (Archimedesespiraal, hiperboliesespiraal, Fermatsespiraal, lituusspirale) en die logaritmiese spiraal

Definisie van sektor (ligblou) en polêre hellinghoek

Polêre hellinghoek[wysig | wysig bron]

Die hoek tussen die spiraal raaklyn en die ooreenstemmende poolsirkel (sien diagram) word die polêre hellinghoek genoem en die poolhelling. Die formule vir die poolhelling , wat afgelei kan word van vektoranalise in poolkoördinate is:

waar is

In meeste gevalle is die poolhelling 'n funksie van , maar in hierdie opsig is die logaritmiese spiraal spesiaal want sy poolhelling is 'n kontant:

Kromming[wysig | wysig bron]

Die kromming van 'n kurwe met poolvergelyking is[1]

Sektor oppervlak[wysig | wysig bron]

Die oppervlak van 'n sektor van 'n kurwe (sien diagram) met poolvergelyking is

Booglengte[wysig | wysig bron]

Die booglengte van 'n spiraal met poolvergelyking is:

Spirale in drie dimensies[wysig | wysig bron]

In drie dimensies, is dit nodig om twee vergelykings te gebruik om 'n spiraal te beskryf. Dit is die gewoonte om silindriese poolkoördinate te gebruik om driedimensionele spirale te beskryf. Hierdie vergelykings is:



met die vereiste dat óf óf 'n monototiese toenemende funksie is.
Silindriese spiraal, ook bekend as 'n spoel

Silindriese spiraal[wysig | wysig bron]

Die silindriese spiraal (of spoel) is die eenvoudigste driedimensionele spiraal. Dit word beskryf deur die vergelykings:

waar is die radius van die spoel en is die spasiëring van opeenvolgende spoele.

Koniese spiraal[wysig | wysig bron]

Conic spiral with Archimedean spiral as floor plan

Indien 'n spiraal in die x-y-vlak bestaan met die parametriese vergelykings

dan kan 'n derde koördinaat sodanig ingebring word met die beperking:

:

met die gevolg dat die kromme op 'n keël sal lê met die parametriese vergelykings

Sulke spirale kry die naam koniese spirale

Voorbeeld[wysig | wysig bron]

As iemand met 'n archimedean spiral kry hy 'n koniese spiraal van [2] (sien beeld regs):

Spherical spiral with

Sferiese spirale[wysig | wysig bron]

Die oppervlak van 'n sfeer, radius , kan voorgestel word deur die volgende vergelykings:[3]:

Wanneer voorgestel is deur die vergelyking , kry 'n mens 'n sferiese kurwe met die naam sferiese spiraal. [4] met die parametriese voorstelling ( is gelyk aan twee mal die aantal draaie):

Verwysings[wysig | wysig bron]

  1. Svirin, Alex. "Curvature and Radius of Curvature" (in English). Math24. Besoek op 23 Maart 2021.AS1-onderhoud: onerkende taal (link)
  2. Ferréol, Robert (2018). "Conical spiral of Pappus" (in English). mathcurve.com.AS1-onderhoud: onerkende taal (link)
  3. Ferréol, Robert; Mandonnet, Jacques (2018). "Clelia" (in English). mathcurve.com.AS1-onderhoud: onerkende taal (link)
  4. Kuno Fladt: Analytische Geometrie spezieller Flächen und Raumkurven, Springer-Verlag, 2013, ISBN 3322853659, 9783322853653, S. 132