Stogastiese veranderlike

in Wikipedia, die vrye ensiklopedie
(Aangestuur vanaf Toevalsveranderlike)
Spring na: navigasie, soek

Stogastiese veranderlike (ook toevalsveranderlike) is 'n begrip uit die waarskynlikheidsleer.

In die waarskynlikheidsleer en statistiek, is 'n stogastiese veranderlike rofweg gesproke 'n veranderlike wie se waarde van die meting van een of ander lukrake (of toevalsgedrewe) proses spruit.

In baie toevalseksperimente, soos steekproeftrekkings, word uit 'n populasie per toeval 'n element, b.v. 'n willekeurige verbyganger, aangewys. Ons vra hierdie verbyganger oor sy leeftyd, inkomste, ens. Vooraf weet ons nie wat ons as antwoord sal kry nie, agteraf wel, maar by herhaling tref ons vermoedelik 'n ander verbyganger, met waarskynlik heel andere antwoorde. Om in die teorie oor 'die leeftyd van 'n willekeurige verbyganger' te kan praat is die begrip stogastiese veranderlike ingevoer. Die toeval wys 'n uitkoms aan - een of ander verbyganger - en aan hierdie uitkoms wys ons 'n getal toe - sy leeftyd. Hieruit blyk dat 'n 'stogastiese veranderlike' 'n afbeelding van die uitkomsruimte na die reële getalle is.

Formele definisie[wysig]

'n Stogastiese veranderlike X is 'n (meetbare) reële funksie op die steekproefruimte (ook genoem uitkomsruimte, en in Engels Sample Space) aangedui met \Omega.

In 'n oneindige steekproefruimte, is nie elke deelversameling (in Engels subset) van \Omega noodwendig 'n gebeurtenis nie, en dus is nie elke funksie op \Omega noodwendig 'n stogastiese veranderlike nie. Daarom word geëis dat die funksie meetbaar (m.a.w van beperkte grootte) is.

So kan per toeval 'n proefpersoon \omega aangewys word (as uitkoms van 'n toevalseksperiment) en stel X(\omega) die gewig voor. Die waarde van die stogastiese veranderlike X vorm eintlik weer 'n nuwe steekproefruimte, met daarop 'n "kans" bepaal deur die kans op die oospronklike steekproefruimte. Hierdie "kans" heet die kansverdeling van X en gee vir die (meetbare) deelversameling B van \mathbb{R} die kans dat X 'n waarde aanneem wat binne B lê.

Die waardebereik van 'n stogastiese veranderlike is dus 'n 'vertaling' van die steekproefruimte \Omega by 'n toevalseksperiment; as \Omega 'n deelversameling van \mathbb{R} is, dan kan die waardebereik van die stogastiese veranderlike feitelik saamval met \Omega. As egter \Omega bestaan uit kleure, vorme, name van perde by 'n perderesies, ens. dan sal daar by die definisie van die stogastiese veranderlike X 'n eenduidige verband gelê moet word tussen \Omega en die waardebereik van X.

Die formele definisie van 'n stogastiese veranderlike maak dit moontlik om die begrip goed in te pas in die formele teorie, maar dit is nie wat ons veral interesseer nie. Ons stel veral belang in die kansverdeling van 'n stogastiese veranderlike, waarmee relevante kanse bepaal kan word.

Voorbeeld[wysig]

Ons gooi met twee dobbelstene. Die uitkomsruimte bestaan uit die 6² = 36 moontlike permutasies:\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \times \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}=\{(1,1),(1,2), \dots , (1,6), (2,1), \dots , (6,6) \} \,.

Ons wil graag die totale aantal gewerpde getalle weet, daarom definieer ons die stogastiese veranderlike X deur:

X(\omega_1,\omega_2) = \omega_1+ \omega_2 \,.

X het as waardebereik \{2, 3, \dots , 12 \} \,.

Deur alle deelversamelings as gebeurtenis toe te laat, wat in so 'n eenvoudige situasie moontlik is, hoef ons geen sorge te maak oor die meetbaarheid van X nie, want dan is alle funksies meetbaar.

Notasie[wysig]

Daar is verskillende notasiekonvensies vir stogastiese veranderlikes in gebruik. Twee van die mees gebruikte konvensies is: die stogastiese veranderlike te onderstreep (\underline{x}), en die stogastiese veranderlike aan te gee met 'n hoofletter (X).

Sien Ook[wysig]

Stogastiese proses

Hierdie artikel is in sy geheel of gedeeltelik vanuit die Nederlandse Wikipedia vertaal.