Waarskynlikheid

Die waarskynlikhede om verskeie getalle met twee dobbelstene te gooi

Waarskynlikheid is 'n maatstaf of skatting van die moontlikheid van 'n gebeurtenis. Waarskynlikhede word 'n waarde tussen 0 (0% kans of sal nie gebeur nie) en 1 (100% kans of sal gebeur) toegeken. Hoe hoër die graad van waarskynlikheid, hoe groter is die kans dat die geval sal gebeur, of in 'n langer reeks monsters, hoe meer is die aantal kere wat verwag word dat so 'n geval sal gebeur. Die waarde word dikwels as 'n persentasie (%) uitgedruk, wat van 0% tot 100% wissel.

Hierdie begrippe het 'n aksiomatiese wiskundige formalisering in die waarskynlikheidsleer gekry, wat wyd gebruik word op gebiede soos die statistiek, die wiskunde, die wetenskap, finansies, dobbel, kunsmatige intelligensie, masjienleer, die rekenaarwetenskap, die spelteorie en die filosofie om byvoorbeeld gevolgtrekkings oor die verwagte frekwensie van gebeurtenisse te maak. Die waarskynlikheidsleer word ook gebruik om die onderliggende meganika en reëlmatighede van komplekse stelsels te beskryf.

Etimologie

Die Engelse woord vir waarskynlikheid, probability, is van die Latynse probabilitaskode: la is verouderd afgelei. Dié woord kon ook "opregtheid" beteken – 'n maatstaf van die gesag van 'n getuie in 'n regsaak in Europa, wat dikwels met die getuie se adellike status saamgehang het. In dié sin verskil dit heelwat van die moderne betekenis van waarskynlikheid, wat daarteenoor 'n maatstaf is van die gewig van empiriese getuienis en wat deur induktiewe redenering en statistiese gevolgtrekking verkry word.

Interpretasies

Wanneer daar met ewekansige eksperimente gewerk word – dit wil sê eksperimente wat lukraak én welgedefinieerd is, soos die opskiet van 'n muntstuk – in 'n suiwer teoretiese opset, kan waarskynlikhede numeries beskryf word as die aantal verlangde uitkomste gedeel deur die totale aantal moontlike uitkomste. Dit staan bekend as teoretiese waarskynlikheid, in teenstelling met empiriese waarskynlikheid, wat handel oor waarskynlikhede in die konteks van werklike eksperimente. Wanneer 'n muntstuk twee keer opgeskiet word, is die moontlike uitkomste byvoorbeeld "kop-kop", "kop-stert", "stert-kop" en "stert-stert". Die waarskynlikheid om "kop-kop" te kry is 1 uit 4 uitkomste, oftewel 1/4, 0,25 of 25%; die waarskynlikheid om minstens een kop te kry, is 3 uit 4, oftewel 0,75, en dié gebeurtenis is dus waarskynliker. Wat die praktiese toepassing betref, is daar egter twee groot mededingende kategorieë van waarskynlikheidsinterpretasies, waarvan die aanhangers verskillende sienings huldig oor die grondliggende aard van waarskynlikheid:

• Objektiviste ken getalle toe om 'n objektiewe of fisiese stand van sake te beskryf. Die gangbaarste weergawe van objektiewe waarskynlikheid is die frekwentistiese waarskynlikheid, wat beweer dat die waarskynlikheid van 'n ewekansige gebeurtenis die relatiewe frekwensie aandui waarmee 'n eksperiment se uitkoms voorkom wanneer die eksperiment onbepaald herhaal word. Dié interpretasie beskou waarskynlikheid as die relatiewe frekwensie van uitkomste "op die lange duur". 'n Variant hiervan is die geneigdheidswaarskynlikheid, wat waarskynlikheid vertolk as die neiging van 'n eksperiment om 'n bepaalde uitkoms te lewer, selfs al word dit net een keer uitgevoer.
• Subjektiviste ken getalle toe volgens subjektiewe waarskynlikheid, dit wil sê as 'n graad van oortuiging. Dié graad van oortuiging is vertolk as "die prys waarteen jy 'n weddenskap sou koop of verkoop wat 1 eenheid nut uitbetaal indien E, en 0 indien nie E nie", hoewel daar nie algemene eenstemmigheid oor dié vertolking bestaan nie. Die gangbaarste weergawe van subjektiewe waarskynlikheid is die Bayesiaanse waarskynlikheid, wat kundige kennis sowel as eksperimentele data insluit om waarskynlikhede te bereken. Die kundige kennis word deur 'n (subjektiewe) a priori-waarskynlikheidsverdeling voorgestel, en die data word in 'n aanneemlikheidsfunksie opgeneem. Die produk van die a priori-verdeling en die aanneemlikheid lewer, ná normalisering, 'n a posteriori-waarskynlikheidsverdeling wat al die inligting bevat wat tot op datum bekend is. Volgens Aumann se ooreenstemmingstelling sal Bayesiaanse agente met soortgelyke aanvanklike oortuigings uiteindelik soortgelyke slotoortuigings hê; genoegsaam verskillende aanvanklike oortuigings kan egter tot verskillende gevolgtrekkings lei, hoeveel inligting die agente ook al deel.

Geskiedenis

Die wetenskaplike studie van waarskynlikheid is 'n moderne ontwikkeling in die wiskunde. Dobbel toon dat daar deur die geskiedenis heen belangstelling was om die idees rondom waarskynlikheid te kwantifiseer, maar presiese wiskundige beskrywings het veel later ontstaan. Daar is redes vir die stadige ontwikkeling van die wiskunde van waarskynlikheid. Hoewel kansspele die aanstoot tot die wiskundige studie van waarskynlikheid gegee het, word grondliggende vraagstukke steeds deur bygelowe verduister.

Volgens Richard Jeffrey het "die term 'waarskynlik' (Latyn probabilis) voor die middel van die sewentiende eeu goedkeurbaar beteken, en is dit in dié sin eenduidig op sowel opinie as handeling toegepas. 'n Waarskynlike handeling of opinie was een wat verstandige mense in die gegewe omstandighede sou onderneem of huldig." Veral in regskontekste kon 'waarskynlik' egter ook op stellings van toepassing wees waarvoor daar goeie getuienis bestaan het.

Gerolamo Cardano (16de eeu)

Christiaan Huygens het een van die eerste boeke oor waarskynlikheid gepubliseer (17de eeu).

Die sestiende-eeuse Italiaanse veelsydige geleerde Gerolamo Cardano het die nut aangetoon daarvan om die kansverhouding as die verhouding van gunstige tot ongunstige uitkomste te definieer, wat impliseer dat die waarskynlikheid van 'n gebeurtenis gegee word deur die verhouding van gunstige uitkomste tot die totale aantal moontlike uitkomste. Buiten Cardano se elementêre werk dateer die leerstuk van waarskynlikhede uit die briefwisseling tussen Pierre de Fermat en Blaise Pascal (1654). Christiaan Huygens het in 1657 die vroegste bekende wetenskaplike behandeling van die onderwerp gelewer. Jakob Bernoulli se Ars Conjectandi (postuum, 1713) en Abraham de Moivre se The Doctrine of Chances (1718) het die onderwerp as 'n tak van die wiskunde behandel. Vir 'n geskiedenis van die vroeë ontwikkeling van die begrip wiskundige waarskynlikheid self, sien Ian Hacking se The Emergence of Probability en James Franklin se The Science of Conjecture.

Die fouteteorie kan tot Roger Cotes se Opera Miscellanea (postuum, 1722) teruggevoer word, maar 'n verhandeling wat Thomas Simpson in 1755 opgestel het (gedruk in 1756) het die teorie die eerste keer op die bespreking van waarnemingsfoute toegepas. Die herdruk van dié verhandeling in 1757 lê die aksiomas neer dat positiewe en negatiewe foute ewe waarskynlik is, en dat bepaalde aanwysbare grense die omvang van alle foute afbaken. Simpson bespreek ook kontinue foute en beskryf 'n waarskynlikheidskurwe.

Die eerste twee foutwette wat voorgestel is, het albei by Pierre-Simon Laplace ontstaan. Die eerste wet is in 1774 gepubliseer en het gestel dat die frekwensie van 'n fout as 'n eksponensiële funksie van die numeriese grootte van die fout uitgedruk kan word, ongeag die teken daarvan. Die tweede foutwet is in 1778 deur Laplace voorgestel en het gestel dat die frekwensie van die fout 'n eksponensiële funksie van die kwadraat van die fout is. Die tweede foutwet word die normaalverdeling of die Gauss-wet genoem. "Dit is histories moeilik om dié wet aan Gauss toe te skryf, wat ten spyte van sy welbekende vroegrypheid dié ontdekking waarskynlik nie voor die ouderdom van twee gemaak het nie."

Carl Friedrich Gauss

Daniel Bernoulli het in 1778 die beginsel van die maksimum produk van die waarskynlikhede van 'n stelsel van gelyktydige foute ingevoer. Adrien-Marie Legendre het in 1805 die kleinstekwadratemetode ontwikkel en dit in sy Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes ("Nuwe metodes om die wentelbane van komete te bepaal") bekendgestel. Sonder dat hy van Legendre se bydrae geweet het, het die Iers-Amerikaanse skrywer Robert Adrain, redakteur van "The Analyst" (1808), die eerste keer die wet van foutgemak (law of facility of error) afgelei:

$$\phi (x)=ce^{-h^{2}x^{2}}$$

waar $h$ 'n konstante is wat van die presiesheid van die waarneming afhang en $c$ 'n skaalfaktor is wat verseker dat die oppervlakte onder die kurwe gelyk aan 1 is. Hy het twee bewyse gelewer, waarvan die tweede in wese dieselfde as dié van John Herschel (1850) was. Gauss het in 1809 die eerste bewys gelewer wat blykbaar in Europa bekend was (die derde ná dié van Adrain). Verdere bewyse is deur Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), James Ivory (1825, 1826), Hagen (1837), Friedrich Bessel (1838), W.F. Donkin (1844, 1856) en Morgan Crofton (1870) gelewer. Ander wat bygedra het, was Ellis (1844), Augustus De Morgan (1864), Glaisher (1872) en Giovanni Schiaparelli (1875). Peters se formule van 1856 vir r, die waarskynlike fout van 'n enkele waarneming, is welbekend.

In die negentiende eeu het skrywers oor die algemene teorie onder andere Laplace, Sylvestre Lacroix (1816), Littrow (1833), Adolphe Quetelet (1853), Richard Dedekind (1860), Helmert (1872), Hermann Laurent (1873), Liagre, Didion en Karl Pearson ingesluit. Augustus De Morgan en George Boole het die uiteensetting van die teorie verbeter.

Andrej Markov het in 1906 die begrip Markov-kettings ingevoer, wat 'n belangrike rol in die teorie van stogastiese prosesse en die toepassings daarvan gespeel het. Die moderne waarskynlikheidsleer, wat op maatteorie gegrond is, is in 1931 deur Andrej Kolmogorov ontwikkel.

Aan die meetkundige kant het Miller, Crofton, McColl, Wolstenholme, Watson en Artemas Martin tot The Educational Times bygedra.

Teorie

Die hoofartikel vir hierdie afdeling is: Waarskynlikheidsleer.

Soos ander teorieë is die waarskynlikheidsleer 'n voorstelling van sy begrippe in formele terme – dit wil sê in terme wat afsonderlik van hul betekenis beskou kan word. Dié formele terme word volgens die reëls van die wiskunde en die logika gemanipuleer, en enige resultate word terug na die probleemgebied vertolk of vertaal.

Daar was minstens twee suksesvolle pogings om waarskynlikheid te formaliseer, naamlik dié van Kolmogorov en dié van Richard Threlkeld Cox. In Kolmogorov se formulering (sien ook waarskynlikheidsruimte) word versamelings as gebeurtenisse vertolk en waarskynlikheid as 'n maat op 'n klas versamelings. In Cox se stelling word waarskynlikheid as 'n primitiewe begrip geneem (dit word met ander woorde nie verder ontleed nie), en die klem val op die opstel van 'n samehangende toekenning van waarskynlikheidswaardes aan stellings. In albei gevalle is die waarskynlikheidswette dieselfde, behalwe wat tegniese besonderhede betref.

Daar bestaan ook ander metodes om onsekerheid te kwantifiseer, soos die Dempster–Shafer-teorie of die moontlikheidsteorie, maar dié is wesenlik anders en nie met die algemeen aanvaarde waarskynlikheidswette versoenbaar nie.

Wiskundige behandeling

Berekening van waarskynlikheid (risiko) teenoor kansverhouding

Beskou 'n eksperiment wat 'n aantal uitkomste kan lewer. Die versameling van al die moontlike uitkomste word die steekproefruimte van die eksperiment genoem en word soms met $\Omega$ aangedui. Die magsversameling van die steekproefruimte word gevorm deur al die verskillende versamelings van moontlike uitkomste te beskou. Die gooi van 'n dobbelsteen kan byvoorbeeld ses moontlike uitkomste lewer. Een versameling van moontlike uitkomste lewer 'n onewe getal op die dobbelsteen. Die deelversameling {1,3,5} is dus 'n element van die magsversameling van die steekproefruimte van dobbelsteengooie. Sulke versamelings word "gebeurtenisse" genoem: in dié geval is {1,3,5} die gebeurtenis dat die dobbelsteen 'n onewe getal lewer. As die uitkomste wat werklik voorkom binne 'n gegewe gebeurtenis val, word gesê dat die gebeurtenis plaasgevind het.

'n Waarskynlikheid is 'n funksie wat aan elke gebeurtenis 'n waarde tussen nul en een toeken, met die vereiste dat die gebeurtenis wat uit al die moontlike uitkomste bestaan (in die voorbeeld hierbo die gebeurtenis {1,2,3,4,5,6}) die waarde een kry. Om as 'n waarskynlikheid te kwalifiseer, moet die toekenning van waardes aan die vereiste voldoen dat vir enige versameling onderling uitsluitende gebeurtenisse (gebeurtenisse sonder gemene uitkomste, soos die gebeurtenisse {1,6}, {3} en {2,4}) die waarskynlikheid dat minstens een van die gebeurtenisse sal voorkom, deur die som van die waarskynlikhede van al die afsonderlike gebeurtenisse gegee word.

Die waarskynlikheid van 'n gebeurtenis A word as $P(A)$, $p(A)$ of ${\text{Pr}}(A)$ geskryf. Dié wiskundige definisie van waarskynlikheid kan met behulp van die begrip van 'n maat na oneindige en selfs onaftelbare steekproefruimtes uitgebrei word.

Die teenoorgestelde of komplement van 'n gebeurtenis A is die gebeurtenis [nie A] (dit wil sê die gebeurtenis dat A nié plaasvind nie), wat dikwels as $A',A^{c}$, ${\overline {A}},A^{\complement },\neg A$ of ${\sim }A$ aangedui word; die waarskynlikheid daarvan word gegee deur P(nie A) = 1 − P(A). Die kans om nié 'n ses met 'n sesvlakkige dobbelsteen te gooi nie, is byvoorbeeld 1 − (kans om 'n ses te gooi) = 1 − 1/6 = 5/6.

As twee gebeurtenisse A en B by 'n enkele uitvoering van 'n eksperiment voorkom, word dit die deursnee of gesamentlike waarskynlikheid van A en B genoem en as $P(A\cap B)$ aangedui.

Onafhanklike gebeurtenisse

Gebeurtenisse A en B as onderling uitsluitend teenoor nie-onderling uitsluitend in die ruimte Ω

As twee gebeurtenisse A en B onafhanklik is, is die gesamentlike waarskynlikheid

$$P(A{\mbox{ en }}B)=P(A\cap B)=P(A)P(B).$$

As twee muntstukke byvoorbeeld opgeskiet word, is die kans dat albei kop is ${\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{4}}.$

Onderling uitsluitende gebeurtenisse

As óf gebeurtenis A óf gebeurtenis B kan voorkom, maar nooit albei gelyktydig nie, word hulle onderling uitsluitende gebeurtenisse genoem.

As twee gebeurtenisse onderling uitsluitend is, word die waarskynlikheid dat albei voorkom as $P(A\cap B)$ aangedui, en

$$P(A{\mbox{ en }}B)=P(A\cap B)=0.$$

Die waarskynlikheid dat een van die twee voorkom, word as $P(A\cup B)$ aangedui, en

$$P(A{\mbox{ of }}B)=P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=P(A)+P(B)-0=P(A)+P(B).$$

Die kans om byvoorbeeld 'n 1 of 'n 2 met 'n sesvlakkige dobbelsteen te gooi, is $P(1{\mbox{ of }}2)=P(1)+P(2)={\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{6}}={\tfrac {1}{3}}.$

Nie (noodwendig) onderling uitsluitende gebeurtenisse

As die gebeurtenisse nie (noodwendig) onderling uitsluitend is nie, geld

$$P\left(A{\hbox{ of }}B\right)=P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A{\mbox{ en }}B\right),$$

wat herskryf kan word as

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right).$$

Wanneer 'n kaart byvoorbeeld uit 'n pak kaarte getrek word, is die kans om 'n hart óf 'n prentkaart (B, V, K) – of albei – te kry ${\tfrac {13}{52}}+{\tfrac {12}{52}}-{\tfrac {3}{52}}={\tfrac {11}{26}},$ want van die 52 kaarte in 'n pak is 13 harte, 12 prentkaarte en 3 albei. Die drie kaarte wat albei is, word by sowel die 13 harte as die 12 prentkaarte ingesluit, maar moet net een keer getel word.

Dit kan verder uitgebrei word na meerdere gebeurtenisse wat nie (noodwendig) onderling uitsluitend is nie. Vir drie gebeurtenisse verloop dit soos volg:

$${\begin{aligned}P\left(A\cup B\cup C\right)=&P\left(\left(A\cup B\right)\cup C\right)\\=&P\left(A\cup B\right)+P\left(C\right)-P\left(\left(A\cup B\right)\cap C\right)\\=&P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)+P\left(C\right)-P\left(\left(A\cap C\right)\cup \left(B\cap C\right)\right)\\=&P\left(A\right)+P\left(B\right)+P\left(C\right)-P\left(A\cap B\right)-\left(P\left(A\cap C\right)+P\left(B\cap C\right)-P\left(\left(A\cap C\right)\cap \left(B\cap C\right)\right)\right)\\P\left(A\cup B\cup C\right)=&P\left(A\right)+P\left(B\right)+P\left(C\right)-P\left(A\cap B\right)-P\left(A\cap C\right)-P\left(B\cap C\right)+P\left(A\cap B\cap C\right)\end{aligned}}$$

Dit is dus duidelik dat dié patroon vir enige aantal gebeurtenisse herhaal kan word.

Voorwaardelike waarskynlikheid

Voorwaardelike waarskynlikheid is die waarskynlikheid van 'n gebeurtenis A gegee dat 'n ander gebeurtenis B voorgekom het. Voorwaardelike waarskynlikheid word as $P(A\mid B)$ geskryf en word gelees as "die waarskynlikheid van A, gegee B". Dit word gedefinieer as

$$P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}\,$$

As $P(B)=0$, is $P(A\mid B)$ formeel ongedefinieerd volgens dié uitdrukking. In dié geval is $A$ en $B$ onafhanklik, aangesien $P(A\cap B)=P(A)P(B)=0.$ Dit is egter moontlik om 'n voorwaardelike waarskynlikheid vir sommige gebeurtenisse met waarskynlikheid nul te definieer, byvoorbeeld deur van 'n σ-algebra van sulke gebeurtenisse gebruik te maak (soos dié wat uit 'n kontinue ewekansige veranderlike voortvloei).

In 'n sak met 2 rooi en 2 blou balle (4 balle in totaal) is die waarskynlikheid om 'n rooi bal te trek byvoorbeeld $1/2;$ wanneer 'n tweede bal getrek word, hang die waarskynlikheid dat dit rooi of blou is egter af van die bal wat vooraf getrek is. As 'n rooi bal getrek is, is die waarskynlikheid om weer 'n rooi bal te kies $1/3,$ want net 1 rooi en 2 blou balle bly oor; en as 'n blou bal vooraf getrek is, is die waarskynlikheid om 'n rooi bal te trek $2/3.$

Inverse waarskynlikheid

In die waarskynlikheidsleer en die toepassings daarvan verbind Bayes se reël die kansverhouding van gebeurtenis $A_{1}$ tot gebeurtenis $A_{2}$ voor en ná die kondisionering op 'n ander gebeurtenis $B.$ Die kansverhouding van $A_{1}$ tot $A_{2}$ is bloot die verhouding van die waarskynlikhede van die twee gebeurtenisse. Wanneer willekeurig baie gebeurtenisse $A$ van belang is, en nie net twee nie, kan die reël herformuleer word as die a posteriori-waarskynlikheid is proporsioneel aan die a priori-waarskynlikheid maal die aanneemlikheid, $P(A|B)\propto P(A)P(B|A)$, waar die proporsionaliteitsimbool beteken dat die linkerkant proporsioneel is aan (dit wil sê gelyk is aan 'n konstante maal) die regterkant soos $A$ varieer, vir 'n vaste of gegewe $B.$ In dié vorm gaan dit terug tot Laplace (1774) en Cournot (1843).

Opsomming van waarskynlikhede

Opsomming van waarskynlikhede

Gebeurtenis	Waarskynlikheid
A	$P(A)\in [0,1]$
nie A	$P(A^{\complement })=1-P(A)\,$
A of B	${\begin{aligned}P(A\cup B)&=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\P(A\cup B)&=P(A)+P(B)\qquad {\mbox{as A en B onderling uitsluitend is}}\\\end{aligned}}$
A en B	${\begin{aligned}P(A\cap B)&=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)\\P(A\cap B)&=P(A)P(B)\qquad {\mbox{as A en B onafhanklik is}}\\\end{aligned}}$
A gegee B	$P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}={\frac {P(B|A)P(A)}{P(B)}}\,$

Voorbeelde

As ek 'n muntstuk opskiet, wat is die kans dat die uitkoms "kop" sal wees?

Dit is voor die hand liggend dat daar 2 moontlikhede is. Dus is die kans/waarskynlikheid dat dit sal gebeur 1 uit elke 2 = 1/2 = 0,5 = 50%

As ek 3 muntstukke opskiet of een muntstuk 3 keer opskiet, wat is die kans dat die uitkoms 3 keer "kop" sal wees?

Opsie 1:

Met elke opskiet is daar 2 verskillende kombinasies, dus is die verskillende hoeveelheid kombinasies: 2×2×2 = 2³ = 8.

Dus is die waarskynlikheid/kans dat dit sal gebeur 1 uit elke 8 = 1/8 = 0,125 = 12,5%

Opsie 2:

Die waarskynlikheid dat die eerste raai reg is, is 1/2, en dieselfde geld vir die tweede en die derde. Die kans dat al drie raaie reg is, is (1/2)³ = 1/8 = 12,5%

Wat is die waarskynlikheid dat 'n persoon een van die vier A's uit 'n pak kaarte van 52 sal trek?

Die kans dat 'n persoon die A van harte sal trek is 1/52. Die kans dat die persoon die A van diamante sal trek is 1/52 en so die kans vir die A van klawers en die A van skoppens ook 1/52. Die persoon hoef egter slegs een van die vier A's te trek, dus is dit OF die A van harte, OF die A van diamante, ens. Omdat dit 'n OF is, is die waarskynlikheid die som van die waarskynlikhede. Dus is die waarskynlikheid om een van die vier A's uit die pak kaarte te trek = 1/52 + 1/52 + 1/52 + 1/52 = 4/52 = 0,0769 = 7,7%

Wat is die waarskynlikheid dat 'n persoon al 4 die A's uit 'n pak kaarte van 52 sal trek?

Omdat die volgorde nie belangrik is nie, is hierdie 'n soortgelyke voorbeeld van 'n kombinasie as die lotery-voorbeeld.

Opsie 1: Uit eerste beginsels

Die kans dat die eerste raai reg is, is 4/52.

Die kans dat die tweede raai reg is, is 3/51 (daar is 3 A's oor en 51 kaarte oor).

Die kans dat die derde raai reg is, is 2/50 (daar is 2 A's oor en 50 kaarte).

Die kans dat die vierde raai reg is, is 1/49 (daar is 1 A oor en 49 kaarte).

Dus, die kans dat al vier kanse reg is, is

${4 \over 52}\times {3 \over 51}\times {2 \over 50}\times {1 \over 49}={4! \over 52!}\times {48! \over 1}=3{,}69\times 10^{-6}=3{,}69\times 10^{-4}\%$

Opsie 2: Gebruik die formule vir kombinasies

n=52 en k=4

Die aantal verskillende kombinasies = n!/[k!(n-k)!] = 52!/[4!(52-4)!] = 270 725

Die waarskynlikheid is die resiprook en is dus 1/270 725 = 3,69×10^-6 = 3,69×10^-4%

Wat is die waarskynlikheid dat die letters A, B, C en D ewekansig in die volgorde B, C, D, A gerangskik sal word?

Omdat die volgorde belangrik is, is dit 'n permutasie.

Opsie 1:

Met die eerste raaiskoot, moet jy uit 4 letters kies, met die tweede raaiskoot uit 3, met die 3de raaiskoot uit 2 en die laaste een is nie 'n raaiskoot nie. Dus is die aantal permutasies = 4×3×2×1 = 4! = 24.

Opsie 2:

Alternatiewelik is n = 4 en k = 4. Dus is die aantal permutasies:

n×(n-1)×(n-2)×...×(n-k+1) = 4×3×...×(4-4+1) = 4×3×....×1 = 24.

Opsie 3:

n!/(n-k)! = 4!/0! = 24

Die waarskynlikheid dat dit sal gebeur is dus 1/24 = 0,04167 = 4,17%

As 9 vriende vir jou kom kuier, wat is die waarskynlikheid dat Ben, Koos, Gert en Jan, in hierdie volgorde, eerste by jou sal opdaag?

Omdat die volgorde belangrik is, werk ons met 'n permutasie. Dieselfde vriend kan nie meer as een keer opdaag nie (dieselfde item kan dus nie meer as een keer gekies word nie).

Opsie 1: Eerste beginsels

Die eerste vriend kan een van 9 wees, die tweede een van 8, ens. Dus is die aantal moontlike permutasies: 9×8×7×6 = 3024

Opsie 2: Gebruik die formule vir permutasies

n = 9 en k = 4:

Aantal permutasies = n×(n-1)×(n-2)×...×(n-k+1) = 9×8×...×(9-4+1) = 9×8×7×6 = 3024

Opsie 3: Gebruik die alternatiewe formule vir permutasies.

n!/(n-k)! = 9!/(9-4)! = 9!/5! = 3024

Die waarskynlikheid daarvan is die resiprook en is dus 1/3024 = 0,003307 = 0,33%

As 9 vriende vir jou kom kuier, wat is die waarskynlikheid dat Ben, Koos, Gert en Jan, eerste by jou sal opdaag, maar nie noodwendig in hierdie volgorde nie?

Omdat die volgorde nie belangrik is nie, werk ons met 'n kombinasie. Dieselfde vriend kan nie meer as een keer opdaag nie (dieselfde item kan dus nie meer as een keer gekies word nie).

Opsie 1: Eerste beginsels

Moet nooit aanvaar dat die volgorde belangrik is nie. Dus is die waarskynlikheid dat enige een van die vier vriende eerste opdaag 4/9, die waarskynlikheid dat een van die 3 oorblywende vriende tweede gaan opdaag is dus 3/8, ens. Dus is die waarskynlikheid:

${4 \over 9}\times {3 \over 8}\times {2 \over 7}\times {1 \over 6}={4! \over 9!}\times {5! \over 1}=0{,}007937=0{,}794\%$

Opsie 2: Bepaal die aantal permutasies en deel deur 4! om die aantal kombinasies te kry

Om die hoeveelheid permutasies te kry: Die eerste vriend kan een van 9 wees, die tweede een van 8, ens. Dus is die aantal moontlike permutasies: 9×8×7×6 = 3024. Die vier vriende kan egter op 4! verskillende maniere by my aankom, dus is die aantal kombinasies 3024/4! = 126

Opsie 3: Gebruik die formule vir kombinasies.

n = 9 en k = 4:

Aantal kombinasies = n!/[k!(n-k)!] = 9!/[4!5!] = 126

Dus is die waarskynlikheid dat die vier vriende eerste by my gaan opdaag, die resiprook en is dus 1/126 = 0,007937 = 0,794%

As ek 'n aap voor 'n telefoon sit, wat is die kans dat die aap die getalle 2, 4, 6, 8, 0 in hierdie volgorde sal kies?

Aanvaar dat die aap slegs die getalle 0 tot 9 op die telefoon sal druk en dat wat hy druk, heeltemal ewekansig is.

Met elke druk van 'n knoppie kan die aap dus 1 uit enige van 10 getalle kies. Dus kan een item meer as een keer gekies word en dus is die hoeveelheid kombinasies: 10×10×10×10×10 = 10⁵

Dus is die waarskynlikheid dat dit sal gebeur = 1/10⁵ = 0,001%

As ek 'n aap voor 'n telefoon sit, wat is die kans dat die aap die getalle 2, 4, 6, 8, 0 in enige volgorde sal kies?

Opsie 1:

Aanvaar dat die aap slegs die getalle 0 tot 9 op die telefoon sal druk en dat wat hy druk, heeltemal ewekansig is.

Met elke druk van 'n knoppie kan die aap dus 1 uit enige van 10 getalle kies. Dus kan een item meer as een keer gekies word en dus is die waarskynlikheid:

${5 \over 10}\times {4 \over 10}\times {3 \over 10}\times {2 \over 10}\times {1 \over 10}={5! \over 10^{5}}=0{,}0012=0{,}12\%$

Opsie 2:

Alternatiewelik kan die aantal permutasies uitgewerk word en dit deel deur k om die aantal kombinasies te kry. Die aantal permutasies = 10⁵.

Dus is die aantal kombinasies = 10⁵/5! = 833,33

Die waarskynlikheid is die resiprook en is dus 5!/10⁵ = 0,0012 = 0,12%

Wat is die waarskynlikheid dat twee mense uit 'n groep van 23 op dieselfde dag verjaar?

Die aantal pare wat 'n mens kan maak uit 'n groep van 23 mense = die aantal kombinasies van 2 mense in 'n groep van 23 =

${23 \over 2}\times {22 \over 1}={23! \over 21!}\times {1 \over 2!}=253$

of

${23! \over 2!(23-2)!}={23! \over 2!21!}=253$

Die waarskynlikheid dat twee persone op verskillende dae sal verjaar is ${365-1 \over 365}={364 \over 365}$

Die kans dat al 253 pare/kombinasies nie op dieselfde dag sal verjaar nie is $\left({364 \over 365}\right)^{253}=0{,}4995$

Dus is die kans dat twee mense wel op dieselfde dag sal verjaar, is: 1 – 49,95% = 50,05%

Wat is die waarskynlikheid om sekere getalle met twee dobbelstene te gooi?

Die verskillende hoeveelheid kombinasies wat 'n mens met twee dobbelstene kan gooi is 6×6 = 36

Om 2 te gooi, is daar slegs een moontlike kombinasie: jy moet 'n 1 en 'n 1 gooi. Dus is die waarskynlikheid 1 uit 36. Die volgende tabel wys die waarskynlikheid vir verskillende getalle:

Getal	Kombinasies	Waarskynlikheid
2	(1,1)	1/36
3	(1,2)(2,1)	2/36
4	(1,3)(2,2)(3,1)	3/36
5	(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)	4/36
6	(1,5)(2,4)(3,3)(4,2)(5,1)	5/36
7	(1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1)	6/36
8	(2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2)	5/36
9	(3,6)(4,5)(5,4)(6,3)	4/36
10	(4,6)(5,5)(6,4)	3/36
11	(5,6)(6,5)	2/36
12	(6,6)	1/36

Toepassings

Die waarskynlikheidsleer word in die alledaagse lewe toegepas in risikobepaling en modellering. Die versekeringsbedryf en die markte gebruik aktuariële wetenskap om pryse te bepaal en handelsbesluite te neem. Regerings pas waarskynlikheidsmetodes toe in omgewingsregulering, die ontleding van aansprake op regte en finansiële regulering.

'n Voorbeeld van die gebruik van die waarskynlikheidsleer in aandelehandel is die uitwerking van die waargenome waarskynlikheid van 'n wydverspreide konflik in die Midde-Ooste op oliepryse, wat op sy beurt die hele ekonomie raak. 'n Kommoditeitshandelaar se beoordeling dat 'n oorlog waarskynliker geword het, kan daardie kommoditeit se pryse laat styg of daal en dui daardie mening ook aan ander handelaars aan. Die waarskynlikhede word gevolglik nie onafhanklik en ook nie noodwendig rasioneel beoordeel nie. Die teorie van gedragsfinansies het ontstaan om die uitwerking van sulke groepdenke op prysvorming, op beleid en op vrede en konflik te beskryf.

Benewens finansiële beoordeling kan waarskynlikheid gebruik word om tendense in die biologie (byvoorbeeld die verspreiding van siektes) sowel as die ekologie (byvoorbeeld biologiese Punnett-vierkante) te ontleed. Soos in die finansiewese kan risikobepaling as 'n statistiese hulpmiddel gebruik word om die waarskynlikheid te bereken dat ongewenste gebeurtenisse sal voorkom, en dit kan help om protokolle in te stel om sulke omstandighede te vermy. Waarskynlikheid word gebruik om kansspele so te ontwerp dat casino's 'n gewaarborgde wins kan maak, maar tog gereeld genoeg aan spelers uitbetaal om hulle aan te moedig om te bly speel.

Nog 'n belangrike toepassing van die waarskynlikheidsleer in die alledaagse lewe is betroubaarheid. Baie verbruikersprodukte, soos motorvoertuie en verbruikerselektronika, gebruik betroubaarheidsteorie in die produkontwerp om die waarskynlikheid van faling te verminder. Die waarskynlikheid van faling kan 'n vervaardiger se besluite oor 'n produk se waarborg beïnvloed.

Die kas-taalmodel en ander statistiese taalmodelle wat in natuurlike-taalverwerking gebruik word, is ook voorbeelde van toepassings van die waarskynlikheidsleer.

Verband met ewekansigheid en waarskynlikheid in die kwantummeganika

In 'n deterministiese heelal, gegrond op Newtoniaanse begrippe, sou daar geen waarskynlikheid wees indien alle toestande bekend was (Laplace se demoon) – maar daar is situasies waarin die sensitiwiteit vir aanvangstoestande ons vermoë om hulle te meet, en dus te ken, oortref (sien chaosteorie). In die geval van 'n roulettewiel sou die getal waarop die balletjie tot stilstand kom 'n sekerheid wees indien die krag van die hand en die tydsduur van daardie krag bekend was, hoewel dit in die praktyk waarskynlik net waar sou wees van 'n roulettewiel wat nie presies gelyk gestel is nie, soos Thomas A. Bass se boek The Newtonian Casino aan die lig gebring het. Dit veronderstel ook kennis van die traagheid en wrywing van die wiel, die gewig, gladheid en rondheid van die balletjie, wisselinge in die handsnelheid tydens die draai, en so meer. 'n Waarskynlikheidsbeskrywing kan dus nuttiger as die Newtoniaanse meganika wees om die patroon van uitkomste van herhaalde draaie van 'n roulettewiel te ontleed. Fisici staan voor dieselfde situasie in die kinetiese gasteorie, waar die stelsel, hoewel dit in beginsel deterministies is, so kompleks is – met die aantal molekules gewoonlik in die orde van grootte van die Avogadro-konstante, 6,02 × 10²³ – dat slegs 'n statistiese beskrywing van sy eienskappe haalbaar is.

Die waarskynlikheidsleer is nodig om kwantumverskynsels te beskryf. 'n Rewolusionêre ontdekking van die fisika aan die begin van die 20ste eeu was die ewekansige aard van alle fisiese prosesse wat op subatomiese skaal plaasvind en wat deur die wette van die kwantummeganika beheers word. Die objektiewe golffunksie ontwikkel deterministies, maar volgens die Kopenhaagse interpretasie handel dit oor die waarskynlikhede van waarneming, en word die uitkoms verklaar deur die ineenstorting van die golffunksie wanneer 'n waarneming gemaak word. Die verlies aan determinisme ter wille van instrumentalisme is egter nie algemeen aanvaar nie. Albert Einstein het in 'n brief aan Max Born die bekende opmerking gemaak: "Ek is daarvan oortuig dat God nie dobbel nie." Soos Einstein het Erwin Schrödinger, wat die golffunksie ontdek het, geglo dat die kwantummeganika 'n statistiese benadering van 'n onderliggende deterministiese werklikheid is. In sommige moderne vertolkings van die statistiese meganika van meting word kwantumdekoherensie aangevoer om die voorkoms van subjektief waarskynlikheidsgebaseerde eksperimentele uitkomste te verklaar.

Kyk ook

• Kombinasie
• Permutasie
• Waarskynlikheidsleer
• Statistiek

Bronnelys

• Kallenberg, O. (2005). Probabilistic Symmetries and Invariance Principles. Springer-Verlag, New York. 510 bl. ISBN 0-387-25115-4
• Kallenberg, O. (2002). Foundations of Modern Probability, 2de uitgawe. Springer Series in Statistics. 650 bl. ISBN 0-387-95313-2
• Olofsson, Peter (2005). Probability, Statistics, and Stochastic Processes. Wiley-Interscience. 504 bl. ISBN 0-471-67969-0

Eksterne skakels

• Wikimedia Commons het meer media in die kategorie Waarskynlikheid.
• Virtual Laboratories in Probability and Statistics (Universiteit van Alabama in Huntsville) (in Engels)
• Probability and Induction in die Internet Encyclopedia of Philosophy (in Engels)
• Edwin Thompson Jaynes. Probability Theory: The Logic of Science. Voordruk, Washington University (1996) – HTML-indeks met skakels na PostScript-lêers en PDF (eerste drie kapittels) (in Engels)
• People from the History of Probability and Statistics (Universiteit van Southampton) (in Engels)
• Introduction to Probability – e-boek (argief van 27 Julie 2011), deur Charles Grinstead en Laurie Snell (in Engels)
• Richard Feynman se lesing oor waarskynlikheid (in Engels)