Barometriese formule

Die barometriese formule is 'n formule wat gebruik word om te modelleer hoe lugdruk (of digtheid) met hoogte verander.

Druk vergelykings

Daar is twee vergelykings vir die berekening van druk as 'n funksie van hoogte. Die eerste vergelyking is van toepassing op die standaardmodel van die troposfeer waarin aanvaar word dat die temperatuur met hoogte met 'n vervaltempo van $L_{b}$:

$P=P_{b}\left[{\frac {T_{b}-\left(h-h_{b}\right)L_{b}}{T_{b}}}\right]^{\tfrac {g_{0}M}{R^{*}L_{b}}}$

Die tweede vergelyking is van toepassing op die standaardmodel van die stratosfeer waarin aanvaar word dat die temperatuur nie met hoogte verskil nie:

ː$P=P_{b}\exp \left[{\frac {-g_{0}M\left(h-h_{b}\right)}{R^{*}T_{b}}}\right]$

waar:

• $P_{b}$ = verwysingsdruk
• $T_{b}$ = verwysingstemperatuur (K)
• $L_{b}$ = temperatuurvervaltempo (K/m) in ISA
• $h$ = hoogte waarop druk bereken word (m)
• $h_{b}$ = hoogte van verwysingsvlak b (meters; bv h_b = 11 000 m)
• $R^{*}$ = gaskonstante: 8.3144598 J/(mol·K)
• $g_{0}$ = swaartekrag: 9.80665 m/s²
• $M$ = molêre massa van aarde se atmosfeer: 0.0289644 kg/mol

Die waarde van onderskrif b wissel van 0 tot 6 in ooreenstemming met elk van sewe opeenvolgende lae van die atmosfeer wat in die tabel hieronder getoon word. In hierdie vergelykings is g₀, M en R^* elk enkelwaardekonstantes, terwyl P, L, T en h meerwaardekonstantes is in ooreenstemming met die tabel hieronder. Die waardes wat vir M, g₀ en R^* gebruik word, is in ooreenstemming met die U.S. Standard Atmosphere, 1976, en veral die waarde vir R^* stem nie ooreen met standaardwaardes vir hierdie konstante nie. Die verwysingswaarde vir P_b vir b = 0 is die gedefinieerde seevlakwaarde, P₀ Pa of 29,92126 duim Hg. Waardes van P_b van b = 1 tot b = 6 word verkry uit die toepassing van die toepaslike lid van die paar vergelykings 1 en 2 vir die geval wanneer h = h_b+1.

Onderskrif b	Hoogte bo seevlak		Statiese druk		Standaard temperatuur (K)	Temperatuurvervaltempo		Eksponent g0 M / R L
	(m)	(vt)	(Pa)	(in Hg)		(K/m)	(K/vt)
0	0	0	101 325.00	29.92126	288.15	0.0065	0.0019812	5.2558
1	11 000	36,089	22 632.10	6.683245	216.65	0.0	0.0	—
2	20 000	65,617	5474.89	1.616734	216.65	-0.001	-0.0003048	-34.1626
3	32 000	104,987	868.02	0.2563258	228.65	-0.0028	-0.00085344	-12.2009
4	47 000	154,199	110.91	0.0327506	270.65	0.0	0.0	—
5	51 000	167,323	66.94	0.01976704	270.65	0.0028	0.00085344	12.2009
6	71 000	232,940	3.96	0.00116833	214.65	0.002	0.0006096	17.0813

Digtheidsvergelykings

Die uitdrukkings vir die berekening van digtheid is byna identies aan die berekening van druk. Die enigste verskil is die eksponent in Vergelyking 1.

Daar is twee vergelykings vir die berekening van digtheid as 'n funksie van hoogte. Die eerste vergelyking is van toepassing op die standaardmodel van die troposfeer waarin aanvaar word dat die temperatuur met hoogte met 'n vervaltempo van $L_{b}$ wissel; die tweede vergelyking is van toepassing op die standaardmodel van die stratosfeer waarin aanvaar word dat die temperatuur nie met hoogte verskil nie.

Vergelyking 1:

$\rho =\rho _{b}\left[{\frac {T_{b}-(h-h_{b})L_{b}}{T_{b}}}\right]^{\left({\frac {g_{0}M}{R^{*}L_{b}}}-1\right)}$

wat gelykstaande is aan die verhouding van die relatiewe druk- en temperatuurveranderinge

$$\rho =\rho _{b}{\frac {P}{T}}{\frac {T_{b}}{P_{b}}}$$

Vergelyking 2: ː$\rho =\rho _{b}\exp \left[{\frac {-g_{0}M\left(h-h_{b}\right)}{R^{*}T_{b}}}\right]$

waar

• ${\rho }$ = digtheid (kg/m³)
• $T_{b}$ = standaard temperatuur (K)
• $L$ = standard temperaturetemperatuurvervaltempo (sien tabel hieronder) (K/m) in ISA
• $h$ = hoogte bo seespieel (meters)
• $R^{*}$ = gaskonstante 8.3144598 N·m/(mol·K)
• $g_{0}$ = gravitasie versnelling 9.80665 m/s²
• $M$ = molêre massa van lug: 0.0289644 kg/mol

Onderskrif b	Hoogte bo seevlak (h)		Dighteid ($\rho$)		Standaard temperatuur (T') (K)	Temperatuurvervaltempo (L)
	(m)	(vt)	(kg/m3)	(slug/vt3)		(K/m)	(K/vt)
0	0	0	1.2250	2,3768908×10−3	288.15	0.0065	0.0019812
1	11 000	36,089.24	0.36391	7,0611703×10−4	216.65	0.0	0.0
2	20 000	65,616.79	0.08803	1,7081572×10−4	216.65	-0.001	-0.0003048
3	32 000	104,986.87	0.01322	2,5660735×10−5	228.65	-0.0028	-0.00085344
4	47 000	154,199.48	0.00143	2,7698702×10−6	270.65	0.0	0.0
5	51 000	167,322.83	0.00086	1,6717895×10−6	270.65	0.0028	0.00085344
6	71 000	232,939.63	0.000064	1,2458989×10−7	214.65	0.002	0.0006096

Afleiding

Die barometriese formule kan afgelei word deur die ideale gaswet te gebruik:

$P={\frac {\rho }{M}}{R^{*}}T$

Aanvaar dat alle drukke hidrostaties is:

$dP=-\rho g\,dz$

en deel die $dP$ deur die $P$ vergelyking, dan kry ons:

${\frac {dP}{P}}=-{\frac {Mg\,dz}{R^{*}T}}$

Indien hierdie vergelyking geintegreer word vanaf die oppervlak tot the hoogte z word die volgende verkry:

$P=P_{0}e^{-\int _{0}^{z}{Mgdz/R^{*}T}}$

Indien 'n liniere temperatuur verval $T=T_{0}-Lz$ en konstante molêre massa en gravitasieversnelling aanvaar word, word die eerste barometriese formule verkry:

$P=P_{0}\cdot \left[{\frac {T}{T_{0}}}\right]^{\textstyle {\frac {Mg}{R^{*}L}}}$

Indien geingetreer word deur 'n konstante temperatuur te aanvaar, word die tweede barometriese formule verkry:

$P=P_{0}e^{-Mgz/R^{*}T}$

In hierdie formule is R^* die gaskonstante en die term R^*T/Mg gee die skaalhoogte (ongeveer gelyk aan 8.4 km vir die troposfeer).

(Vir presiese resultate moet onthou word dat atmosfeer wat water bevat nie as 'n ideale gas optree nie.)

Kyk ook

• Aarde se atmosfeer
• Lugdruk
• Druk