Chapman-Kolmogorov-vergelyking

in Wikipedia, die vrye ensiklopedie
Spring na: navigasie, soek

In wiskunde, veral in waarskynlikheidsleer en in die besonder die teorie van Markoviaanse stogastiese prosesse, is die Chapman-Kolmogorov-vergelyking 'n identiteit van die gesamentlike waarskynlikheidsverdelings van die verskillende stelle van die koördinate op 'n stogastiese proses. Die vergelyking is onafhanklik deur beide die Britse wiskundige Sydney Chapman en die Russiese wiskundige Andrey Kolmogorov aangekom.

Stogastiese proses { fi } is 'n geïndekseerde versameling van ewekansige veranderlikes, dit is, 'n stogastiese proses. Laat

p_{i_1,\ldots,i_n}(f_1,\ldots,f_n)

die gesamentlike waarskynlikheidsdigtheidsfunksie funksie van die waardes van die ewekansige veranderlikes f1 to fn. Dan is die Chapman-Kolmogorovvergelyking

p_{i_1,\ldots,i_{n-1}}(f_1,\ldots,f_{n-1})=\int_{-\infty}^{\infty}p_{i_1,\ldots,i_n}(f_1,\ldots,f_n)\,df_n

dit wil sê 'n eenvoudige marginalisering oor die oorlas veranderlike.

(Let daarop dat ons nog nie veronderstel om iets oor die temporale (of enige ander) bestel van die ewekansige veranderlikes die bogenoemde vergelyking vantoepassing is gelyk aan die marginalisering van enige van hulle.)

Aansoek om Markov-kettings[wysig]

Wanneer die stogastiese onder oorweging Markoviaanse is, is dieChapman-Kolmogorov vergelyking is gelykstaande aan 'n identiteit op die oorgangdigthede. In die Markovketting omgewing, veronderstel dat i1 < ... < in. Dan, asgevolg van die Markov eiendom,

p_{i_1,\ldots,i_n}(f_1,\ldots,f_n)=p_{i_1}(f_1)p_{i_2;i_1}(f_2\mid f_1)\cdots p_{i_n;i_{n-1}}(f_n\mid 
f_{n-1}),

waar die voorwaardelike waarskynlikheid p_{i;j}(f_i\mid f_j) tussen die tye i>j. So, die Chapman-Kolmogorov vergelyking neem die vorm

p_{i_3;i_1}(f_3\mid f_1)=\int_{-\infty}^\infty p_{i_3;i_2}(f_3\mid f_2)p_{i_2;i_1}(f_2\mid f_1) \, df_2.

In eenvoudige terme, en informeel, sê dat die waarskynlikheid van die staat 1 om 3van die waarskynlikheid van 1 tot 'n intermediêre staat 2 en dan 2-3 kan gevind word deur die byvoeging van oor al die moontlike intermediêrestate 2.

Wanneer die waarskynlikheid verspreiding oor die stand van die ruimte van 'n Markov-ketting is diskrete en die Markov-ketting is homogeen, kan dieChapman-Kolmogorov vergelykings uitgedruk word in terme van (moontlikbeperkte dimensionele) matriksvermenigvuldiging, dus:

P(t+s)=P(t)P(s)\,

waar P(t) is die oorgang matriks van spring t, met ander woorde, P(t) is die matriks van so 'n aard dat die inskrywing(i,j) die waarskynlikheid van die kettingbeweeg van die staat i j in t stappe te stel bevat.

As 'n uitvloeisel is, volg dit dat die oorgang matriks van spring t te bereken, is dit voldoende om die oorgang matriks van spring een in te samel om die krag van t, dit is

P(t)=P^t.\,

Verwysings[wysig]