Fourier-reeks

Die Fourier-reeks is deur Joseph Fourier in die begin van die negentiende eeu ontwikkel. Hy publiseer sy ontdekking in 1807.^[1] Hy ontwikkel die konsep oorspronklik om hom te help met die oplossing van die hittediffusievergelyking, maar dit is later ontdek dat reeks nuttig is om enige periodieke golfvorm te ontleed. In sy eenvoudigste vorm (uit 'n ingenieursoogpunt) word die golfvorm ontbind in 'n reeks sinus- en cosinuskrommes met frekwensie gelykstaande aan 'n tussengetalveelvoud van die frekwensie van die oorspronklike golfvorm. In die praktyk word slegs die laagste frekwensiekrommes gebruik.^[2]

In die boonste ry van die diagram aan die regterkant word die vierkantgolf benader deur 'n sinusvormige kromme wat 'n periode $T$ het. Die volgende ry wys die vierkantgolf wanneer dit benader word deur twee sinusvormige krommes met periodes $(T,{\frac {T}{3}})$ bymekaar te tel, die derde ry toon die resultaat wanneer drie sinusvormige krommes met frekwensies $(T,{\frac {T}{3}},{\frac {T}{5}})$ bymekaar getel is en so voort.

Vorm

Die Fourier-reeks kan in verskeie vorme uitgedruk word. Die drie mees algemene word hier beskryf.

Sinus-kosinus vorm

Die wiskundige uitdrukking vir die Fourier-reeks word gegee deur:^[3]

s_{\scriptscriptstyle N}(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}\cos \left({\tfrac {2\pi }{T}}nx\right)+b_{n}\sin \left({\tfrac {2\pi }{T}}nx\right)\right)

waar

s_{\scriptscriptstyle N}(x)

is die funksie wat benader word.

N

N is die hoogste orde van sinusvormige kromme wat in die benadering gebruik word.

s_{\scriptscriptstyle N}(x)

Is die benadering tot die kromme nadat N sinusvormige krommes gebruik is.

\{a_{0},a_{n},b_{n}|n{=}1\ldots N\}

is 'n stel konstante wat spesifiek is vir

s_{\scriptscriptstyle N}(x)

.

Die konstantes $\{a_{0},a_{n},b_{n}|n{=}1\ldots N\}$ word geëvalueer deur die formules te gebruik:

{\begin{aligned}a_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\cos(nx)\,dx\\[4pt]b_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\sin(nx)\,dx\\[4pt]\end{aligned}}

Amplitude-fase vorm of polêre vorm

Aangesien dat

A\cos \left(\theta -\phi \right)=A\cos \theta \cos \phi +A\sin \theta \sin \phi

is dit maklik om te bewys dat die sinus-kosinusvorm in 'n amplitude-fase of polêre vorm herskryf kan word:

s_{\scriptscriptstyle N}(x)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}A_{n}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi }{P}}nx-\varphi _{n}\right)

waar

A_{n}={\sqrt {\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)}}

\tan \phi ={\frac {b_{n}}{a_{n}}}

.

Wanneer die Fourier-reeks in hierdie vorm geskryf word, is die term $A_{n}$ die amplitude van die $n^{de}$ komponent van die golf en $\phi$ sy faseverskuiwing.

Eksponensiële vorm

Volgens Euler se formule is

\cos \theta ={\tfrac {1}{2}}(e^{i\theta }+e^{-i\theta })

.

Deur hierdie verhouding te gebruik, is dit maklik om dit te wys dat die polêre vorm in 'n eksponensiële vorm herskryf kan word:

s_{_{N}}(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\cdot e^{i2\pi nx/P}

waar

c_{n}\triangleq \left\{{\begin{array}{lll}A_{0}/2&=a_{0}/2,\quad &n=0\\{\tfrac {A_{n}}{2}}e^{-i\varphi _{n}}&={\tfrac {1}{2}}(a_{n}-ib_{n}),\quad &n>0\\c_{|n|}^{*},\quad &&n<0\end{array}}\right\}

en

c^{*}

is die komplekse vervoeging van

c

.

Konvergensie

Oor die algemeen kan aangetoon word dat 'n Fourier-reeks konvergent is as dit aan die Dirichlet-voorwaardes [en] voldoen.

In ingenieurswese toepassings word daar oor die algemeen aanvaar dat die Fourier-reeks byna oral konvergeer (die uitsonderings is by diskrete diskontinuïteite) aangesien die funksies wat in ingenieurswese teëgekom word, beter gedra as die funksies wat wiskundiges as teenvoorbeelde vir hierdie vermoede kan verskaf. In die besonder, as $s$ kontinu is en die afgeleide van $s(x)$ (wat dalk nie oral bestaan nie) vierkantintegreerbaar is, dan is die Fourier-reeks van $s$ konvergeer absoluut en eenvormig na $s(x)$ .^[4] As 'n funksie is vierkant-integreerbaar [en] op die interval $[x_{0},x_{0}+P]$ , dan konvergeer die Fourier-reeks na die funksie by byna elke punt. Dit is moontlik om Fourier-koëffisiënte vir meer algemene funksies of verdelings te definieer, in sulke gevalle is konvergensie in norm of swak konvergensie [en] gewoonlik van belang.

Simmetriese en antisimmetriese funksies

As die funksie $f(x)$ simmetries om die nulpunt is (dws $f(-x)=f(x)$ ), dan bestaan die Fourier-reeks slegs uit kosinusterme met onewe harmonieke van die basiese hoofkromme. Net so, as $f(x)$ antisimmetries om die nulpunt is (dws $-f(-x)=f(x)$ ), dan bestaan die Fourier-reeks slegs uit sinusterme met onewe harmonieke van die basiese hoofkromme.

In die illustrasie hieronder is die eerste benadering van die eerste driehoekige golf 'n kosinuskurwe en die eerste benadering van die tweede driehoekige golf is 'n sinuskurwe.

Tyd domein $s(x)$	Grafiek	Frekwensiedomein (sinus-kosinusvorm) ${\begin{aligned}&a_{0}\\&a_{n}\quad {\text{vir }}n\geq 1\\&b_{n}\quad {\text{vir }}n\geq 1\end{aligned}}$	Opmerking	Verwysing
$s(x)=1+{\frac {x}{\pi }}\quad {\text{vir }}-{\pi }\leq x<0$ $s(x)=1-{\frac {x}{\pi }}\quad {\text{vir }}0\leq x<+{\pi }$		${\begin{aligned}a_{0}=&0\\a_{n}=&{\begin{cases}{\frac {8}{\pi ^{2}n^{2}}}&\quad n{\text{ ewe}}\\0&\quad n{\text{ onewe}}\end{cases}}\\b_{n}=&0\\\end{aligned}}$	driehoekige golf met maksimum op tyd nul	^[5]^{:p. 132}
$s(x)=-2-{\frac {2x}{\pi }}\quad {\text{vir }}-{\pi }\leq x<-{\frac {\pi }{2}}$ $s(x)={\frac {2x}{\pi }}\quad {\text{vir }}-{\frac {\pi }{2}}\leq x<+{\frac {\pi }{2}}$ $s(x)=2-{\frac {2x}{\pi }}\quad {\text{vir }}+{\frac {\pi }{2}}\leq x<+{\pi }$		${\begin{aligned}a_{0}=&0\\a_{n}=&0\\b_{n}=&{\begin{cases}{\frac {8}{\pi ^{2}n^{2}}}&\quad n{\text{ ewe}}\\0&\quad n{\text{ onewe}}\end{cases}}\\\end{aligned}}$	driehoekige golf met nul op tyd nul	^[5]

'n Gevolg hiervan is dat as 'n versterker die golf slegs in die amplitudedomein vervorm, sal die vervormings slegs uit onewe harmonieke bestaan.

Tabel van algemene Fourier-reekse

Sommige algemene pare periodieke funksies en hul Fourierreeks-koëffisiënte word in die tabel hieronder getoon.

$s(x)$ dui 'n periodieke funksie aan gedefinieer op $0<x\leq P$ .
$a_{0},a_{n},b_{n}$ dui die Fourierreeks-koëffisiënte (sinus-kosinusvorm) van die periodieke funksie aan $s(x)$ .

Tyd domein $s(x)$	Frekwensiedomein (sinus-kosinusvorm) ${\begin{aligned}&a_{0}\\&a_{n}\quad {\text{vir }}n\geq 1\\&b_{n}\quad {\text{vir }}n\geq 1\end{aligned}}$	Opmerking	Verwysing
$s(x)=A\left\|\sin \left({\frac {2\pi }{P}}x\right)\right\|\quad {\text{vir }}0\leq x<P$	${\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {4A}{\pi }}\\a_{n}=&{\begin{cases}{\frac {-4A}{\pi }}{\frac {1}{n^{2}-1}}&\quad n{\text{ ewe}}\\0&\quad n{\text{ onewe}}\end{cases}}\\b_{n}=&0\\\end{aligned}}$	Volgolf gelykgerigte sinus	^[6]^{:p. 193}
$s(x)={\begin{cases}A\sin \left({\frac {2\pi }{P}}x\right)&\quad {\text{vir }}0\leq x<P/2\\0&\quad {\text{vir }}P/2\leq x<P\\\end{cases}}$	${\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {2A}{\pi }}\\a_{n}=&{\begin{cases}{\frac {-2A}{\pi }}{\frac {1}{n^{2}-1}}&\quad n{\text{ ewe}}\\0&\quad n{\text{ onewe}}\end{cases}}\\b_{n}=&{\begin{cases}{\frac {A}{2}}&\quad n=1\\0&\quad n>1\end{cases}}\\\end{aligned}}$	Halfgolf gelykgerigte sinus	^[6]^{:p. 193}
$s(x)={\begin{cases}A&\quad {\text{vir }}0\leq x<D\cdot P\\0&\quad {\text{vir }}D\cdot P\leq x<P\\\end{cases}}$	${\begin{aligned}a_{0}=&2AD\\a_{n}=&{\frac {A}{n\pi }}\sin \left(2\pi nD\right)\\b_{n}=&{\frac {2A}{n\pi }}\left(\sin \left(\pi nD\right)\right)^{2}\\\end{aligned}}$	$0\leq D\leq 1$
$s(x)={\frac {Ax}{P}}\quad {\text{vir }}0\leq x<P$	${\begin{aligned}a_{0}=&A\\a_{n}=&0\\b_{n}=&{\frac {-A}{n\pi }}\\\end{aligned}}$		^[6]^{:p. 192}
$s(x)=A-{\frac {Ax}{P}}\quad {\text{vir }}0\leq x<P$	${\begin{aligned}a_{0}=&A\\a_{n}=&0\\b_{n}=&{\frac {A}{n\pi }}\\\end{aligned}}$		^[6]^{:p. 192}
$s(x)={\frac {4A}{P^{2}}}\left(x-{\frac {P}{2}}\right)^{2}\quad {\text{vir }}0\leq x<P$	${\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {2A}{3}}\\a_{n}=&{\frac {4A}{\pi ^{2}n^{2}}}\\b_{n}=&0\\\end{aligned}}$		^[6]^{:p. 193}

Verwysings

↑ O'Connor, J J; Robertson, E F (Januarie 1997). "Jean Baptiste Joseph Fourier" (in Engels). School of Mathematics and Statistics, Universiteit van St Andrews, Skotland. Besoek op 13 November 2024.
↑ Pickover, Clifford A (2009). MαTH βOOK (in Engels). Sterling. p. 210. ISBN 978-1-4027-8829-1.
↑ Spiegel, Murray S (1968). Mathematical Handbook of Formulas and Tables (in Engels). Schaum's Outline Series. pp. 131–135.
↑ Tolstov, Georgi P. (1976). Fourier Series (in Engels). Courier-Dover. ISBN 0-486-63317-9.
1 2 Spiegel, Murray R (1968). Mathematical Handbook of Formulas and Tables (in Engels). McGraw-Hill Book COmpany. ISBN 07-060224-7. {{cite book}}: Kontroleer |isbn=-waarde: length (hulp)
1 2 3 4 5 Papula, Lothar (2009). Mathematische Formelsammlung: für Ingenieure und Naturwissenschaftler [Mathematical Functions for Engineers and Physicists] (in Duits). Vieweg+Teubner Verlag. ISBN 978-3834807571.

Notas

Hierdie artikel is in sy geheel of gedeeltelik vanuit die Engelse Wikipedia vertaal.

[1] O'Connor, J J; Robertson, E F (Januarie 1997). "Jean Baptiste Joseph Fourier" (in Engels). School of Mathematics and Statistics, Universiteit van St Andrews, Skotland. Besoek op 13 November 2024.

[2] Pickover, Clifford A (2009). MαTH βOOK (in Engels). Sterling. p. 210. ISBN 978-1-4027-8829-1.

[3] Spiegel, Murray S (1968). Mathematical Handbook of Formulas and Tables (in Engels). Schaum's Outline Series. pp. 131–135.

[4] Tolstov, Georgi P. (1976). Fourier Series (in Engels). Courier-Dover. ISBN 0-486-63317-9.

[Spiegel-5] 1 2 Spiegel, Murray R (1968). Mathematical Handbook of Formulas and Tables (in Engels). McGraw-Hill Book COmpany. ISBN 07-060224-7. {{cite book}}: Kontroleer |isbn=-waarde: length (hulp)

[Papula-6] 1 2 3 4 5 Papula, Lothar (2009). Mathematische Formelsammlung: für Ingenieure und Naturwissenschaftler [Mathematical Functions for Engineers and Physicists] (in Duits). Vieweg+Teubner Verlag. ISBN 978-3834807571.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]