Repeterende breuk

'n Repeterende breuk is 'n breuk waar die desimale getal 'n sekere reeks herhaal en dus 'n duidelike patroon vorm.

'n Repeterende breuk is 'n rasionale getal (kyk #Repeterende desimale getal as breuk)

Repeterende breuke word normaalweg afgerond, en slegs 'n sekere aantal syfers word genoteer. So word 2/3 afgerond op:

• 2 desimale as 0,67
• 5 desimale as 0,66667

'n Ander skryfwyse is om 'n streep bokant repeterende gedeelte te trek. Byvoorbeeld:

${\frac {2}{3}}=0.6666666...=0.{\dot {6}}$

of

${\frac {123}{999}}=0.123123123...=0.{\overline {123}}$

Op rekenaars is die streepnotasie egter nie so maklik nie, en word 'n skuinsstreep (/) vóór die eerste en na die laaste syfer van die repeterende gedeelte geplaas. As voorbeeld:

• 2/3 word 0,/6/ dus 0,6666666...
• 1/7 word 0,/142857/ dus 0,14285714285714...
• 7/30 word 0,2/3/ dus 0,2333333...

Repeterende desimale getal as breuk

Om 'n repeterende desimale getal as 'n breuk te skryf, word soos volg tewerk gegaan:

Stap 1: Stel X as die repeterende getal

Stap 2: Stel nou die volgende vergelyking op:

$10^{n}X-10^{n-y}X=Y$

waar:

• $X$ - Die repeterende getal
• $y$ - Die hoeveelheid syfers wat repeteer. Bv as X = 0.111... = 0./1/, dan is y = 1 en as X = 0.123123... = 0./123/ dan is y = 3.
• $n$ - Kies n so klein as moontlik sodat Y 'n heelgetal is (sien voorbeelde hier onder).
• $Y$ - Berekende getal (heelgetal)

Stap 3: Bereken Y deur X te vervang met die repeterende desimaal.

Stap 4: Bereken X deur Y te vervang met die berekende waarde

(Kyk voorbeelde hieronder vir meer duidelikheid.)

Voorbeeld 1

Gestel die repeterende getal is 0./1/ of 0.11111...

• Stel X = 0.111...
• y = 1
• Kies n = 1

Dus:

$10^{n}X-10^{n-y}X=10^{1}(0.{\dot {1}})-10^{0}(0.{\dot {1}})=1.{\dot {1}}-0.{\dot {1}}=1$

Dus is:

$10^{n}X-10^{n-y}X=10^{1}X-10^{0}X=9X$

Stel die twee vergelyking hierbo gelyk aan mekaar en los op vir X (wat die repeterende getal is):

$9X=1\qquad \Rightarrow \qquad X={\frac {1}{9}}$

Voorbeeld 2

Gestel die repeterende getal is $0.0208{\dot {3}}$ of 0.0208/3/ of 0.0208333...

• Stel X = 0.0208333...
• y = 1
• Kies n = 5

Dus:

$10^{n}X-10^{n-y}X=10^{5}(0.0208{\dot {3}})-10^{4}(0.0208{\dot {3}})=2083.{\dot {3}}-208.{\dot {3}}=1875$

Dus is:

$10^{n}X-10^{n-y}X=10^{5}X-10^{4}X=90000X$

Stel die twee vergelyking hierbo gelyk aan mekaar en los op vir X (wat die repeterende getal is):

$90000X=1875\qquad \Rightarrow \qquad X={\frac {1875}{90000}}={\frac {1}{48}}$

Voorbeeld 3

Gestel die repeterende getal is $0.3{\overline {123}}$ of 0.3/123/

• Stel X = 0.3/123/
• y = 3
• Kies n = 4

Dus:

$10^{n}X-10^{n-y}X=10^{4}(0.3{\overline {123}})-10^{1}(0.3{\overline {123}})=3123.{\overline {123}}-3.{\overline {123}}=3120$

Dus is:

$10^{4}X-10^{4-3}X=10^{4}X-10^{1}X=9990X$

Stel die twee vergelyking hierbo gelyk aan mekaar en los op vir X (wat die repeterende getal is):

$9990X=3120\qquad \Rightarrow \qquad X={\frac {3120}{9990}}\times {\frac {10}{10}}={\frac {312}{999}}\times {\frac {3}{3}}={\frac {104}{333}}$