Repeterende breuk

in Wikipedia, die vrye ensiklopedie
Spring na: navigasie, soek

'n Repeterende breuk is 'n breuk waar die desimale getal 'n sekere reeks herhaal en dus 'n duidelike patroon vorm.

Repeterende breuke word normaalweg afgerond, en slegs 'n sekere aantal syfers word genoteer. So word 2/3 afgerond op:

  • 2 desimale as 0,67
  • 5 desimale as 0,66667

'n Ander skryfwyse is om 'n streep bokant repeterende gedeelte te trek. Byvoorbeeld:

\frac{2}{3} = 0.6666666... = 0.\dot{6}

of

\frac{123}{999} = 0.123123123... = 0.\overline{123}

Op rekenaars is die streepnotasie egter nie so maklik nie, en word 'n skuinsstreep (/) vóór die eerste en na die laaste syfer van die repeterende gedeelte geplaas. As voorbeeld:

  • 2/3 word 0,/6/ dus 0,6666666...
  • 1/7 word 0,/142857/ dus 0,14285714285714...
  • 7/30 word 0,2/3/ dus 0,2333333...

Repeterende desimale getal as breuk[wysig | wysig bron]

Om 'n repeterende desimale getal as 'n breuk te skryf, word soos volg tewerk gegaan:

Stap 1: Stel X as die repeterende getal

Stap 2: Stel nou die volgende vergelyking op:

10^nX - 10^{n-y}X = Y

waar:

  • X - Die repeterende getal
  • y - Die hoeveelheid syfers wat repeteer. Bv as X = 0.111... = 0./1/, dan is y = 1 en as X = 0.123123... = 0./123/ dan is y = 3.
  • n - Kies n so klein as moontlik sodat Y 'n heelgetal is (sien voorbeelde hier onder).
  • Y - Berekende getal (heelgetal)

Stap 3: Bereken Y deur X te vervang met die repeterende desimaal.

Stap 4: Bereken X deur Y te vervang met die berekende waarde

(Kyk voorbeelde hieronder vir meer duidelikheid.)

Voorbeeld 1[wysig | wysig bron]

Gestel die repeterende getal is 0./1/ of 0.11111...

  • Stel X = 0.111...
  • y = 1
  • Kies n = 1

Dus:

10^nX - 10^{n-y}X = 10^1(0.\dot{1}) - 10^0(0.\dot{1}) = 1.\dot{1} - 0.\dot{1} = 1

Dus is:

10^nX - 10^{n-y}X = 10^1X - 10^0 X = 9X

Stel die twee vergelyking hierbo gelyk aan mekaar en los op vir X (wat die repeterende getal is):

9X = 1 \qquad \Rightarrow \qquad X = \frac{1}{9}

Voorbeeld 2[wysig | wysig bron]

Gestel die repeterende getal is 0.0208\dot{3} of 0.0208/3/ of 0.0208333...

  • Stel X = 0.0208333...
  • y = 1
  • Kies n = 5

Dus:

10^nX - 10^{n-y}X = 10^5(0.0208\dot{3}) - 10^4(0.0208\dot{3}) = 2083.\dot{3} - 208.\dot{3} = 1875

Dus is:

10^nX - 10^{n-y}X = 10^5X - 10^4X = 90000X

Stel die twee vergelyking hierbo gelyk aan mekaar en los op vir X (wat die repeterende getal is):

90000X = 1875 \qquad \Rightarrow \qquad X = \frac{1875}{90000} = \frac{1}{48}


Voorbeeld 3[wysig | wysig bron]

Gestel die repeterende getal is 0.3\overline{123} of 0.3/123/

  • Stel X = 0.3/123/
  • y = 3
  • Kies n = 4

Dus:

10^nX - 10^{n-y}X = 10^4(0.3\overline{123}) - 10^1(0.3\overline{123}) = 3123.\overline{123} - 3.\overline{123} = 3120

Dus is:

10^4X - 10^{4-3}X = 10^4X - 10^1X = 9990X

Stel die twee vergelyking hierbo gelyk aan mekaar en los op vir X (wat die repeterende getal is):

9990X = 3120 \qquad \Rightarrow \qquad X = \frac{3120}{9990} \times \frac{10}{10} =  \frac{312}{999} \times \frac{3}{3} = \frac{104}{333}