Boolse algebra

in Wikipedia, die vrye ensiklopedie
Spring na: navigasie, soek

Boolse Algebra, benoem na George Boole (1815-1864), is 'n wiskundige model vir die bewerking van kombinasies van digitale eenhede. 'n Digitale eenheid het een van twee toestande: HOOG of LAAG. Dit word dikwels aangedui met 'n 1 of 0.

Hierdie boolse algebra kom baie handig te pas by die ontwikkeling van rekenaar en ander digitale elektroniese sisteme soos kombinasielogika en sekwensiële logika. Boolse algebra word ook soms skakelalgebra genoem wannneer dit gebruik word in die analise van digitale stroombane.

Bewerkings[wysig | wysig bron]

ie verskillende bewerkings, 'n voorbeeldvergelyking vir elk en die betekenis van elk bewerking word hieronder in Tabel 1 gegee. In elke voorbeeldvergelyking is F die uiset en A en B die twee insette.

Tabel 1. Boolse algebra bewerkings
Bewerking Voorbeeld Betekenis
NIE

Die uitset is die teenoorgestelde van die inset. As A 1 is, is F 0 en andersom.
EN

Die uitset is slegs 1 wanneer beide die insette 1 is. F is 1 indien A EN B albei 1 is.
NEN

(NIE EN)

Die uitset is slegs 1 wanneer beide die insette 0 is. F is 1 indien A EN B albei NIE 1 is.
OF Die uiset is 1 wanneer enige van die insette 1 is. F is 1 wanneer A OF B 1 is.
NOF

(NIE OF)

Die uiset is 1 wanneer enige van die insette 0 is. F is 1 wanneer A OF B NIE 1 is.
XOR Die bewerking is 'n eksklusiewe-of (Exclusive-or in engels). Die uiset is 1 slegs wanneer die twee insette verskillend is. Die bewerking wat uitgevoer word is
XNOR

(NIE XOR)

Dit is die omgekeerde van XOR. Die uiset is slegs 1 wanneer die twee insette verskillend is. Die bewerking is dus

Enige boolse funksie kan in terme van die bogenoemde bewerkings uitgedruk word, vir enige hoeveelheid insette en bewerkings.

Waarheidstabel[wysig | wysig bron]

'n Waarheidstabel is 'n voorstelling van 'n boolse funksie waar die uiset gegee word vir alle kombinasies van die insette. 'n Waarheidstabel vir twee insette A en B word hieronder gegee vir al die bogenoemde funksies.

Tabel 2. Waarheidstabel
0 0 1 0 1 0 1 0 1
0 1 1 0 1 1 0 1 0
1 0 0 0 1 1 0 1 0
1 1 0 1 0 1 0 0 1

Aksiomas[wysig | wysig bron]

Die aksiomas (of postulate) van 'n wiskundige stelsel is die minumum stel van basiese definisies wat as waar beskou word vanwaar alle ander inligting oor die stelsel afgelei kan word. Die aksiomas van Boolse algebra (skakelalgebra) word in Tabel 3 gegee.

Tabel 3. Aksiomas

Teoremas[wysig | wysig bron]

Boolse algebra teoremas is stellings wat altyd waar is, wat gebruik kan word of uitdrukkings te manipuleer om dit te vereenvoudig. Die teoremas vir een- en twee veranderlikes en hul name word in Tabel 4 hieronder gegee.

Tabel 4. Teoremas
Een veranderlike
Identiteite
Nul elemente
Idempotensie
Involusie
Komplemente
Twee of drie veranderlikes
Kommutatiwiteit
Assosiatiwiteit
Distributiwiteit
Dekking
Kombinering
Konsensus

Nog 'n belangrike teorema, is DeMorgan se teorema. Vir twee veranderlikes, X en Y, kan dit soos volg beskryf word:

, of

Hierdie reël kan uitgebrei word vir uitdrukkings met baie veranderlikes.