Cassini ovaal

in Wikipedia, die vrye ensiklopedie
Jump to navigation Jump to search
'n Paar Cassini ovale. Die brandpunte is (-1, 0) en (1, 0). Die krommes is gemerk met die waarde van b2.

In wiskunde is 'n Cassini ovaal 'n versameling (of lokus) van punte in die vlak sodat elke punt p op die ovaal 'n spesiale verhouding het met twee ander vaste punte q1 en q2: die produk van die afstand van p na q1 en die afstand van p na q2 is konstant. Dit wil së as die funksie dist(a,b) gedefinieer word om die afstand van 'n punt a na 'n punt b te wees, dan bevredig al die punteop 'n Cassini ovaal die vergelyking

waar b 'n konstante is.

Die punte q1 en q2 word die brandpunte van die ovaal genoem.

Cassini ovale is vernoem na die sterrekundige Giovanni Domenico Cassini.

Vergelykings en vorm[wysig | wysig bron]

Veronderstel q1 is die punt (a,0), en q2 is die punt (-a,0). Dan bevredig die punte op die kromme die vergelyking

Ekwivalente vergelykings sluit in

en

Die ekwivalente Poolvergelyking is

Die vorm van die ovaal hang af van die verhouding b/a. As b/a groter is as 1 is die lokus 'n enkele verbinde lus. As b/a kleiner is as 1 bestaan die lokus uit twee onverbinde lusse. As b/a gelyk is aan 1 is die lokus 'n lemniskaat.

As a = b is dir kromme rasioneel, maar in die algemeen het die kromme 'n paar dubbele punte by oneindigheid in die kompleks afgebeelde vlak, by x = ±i, y = 1, z = 0 en geen ander singulariteite nie, en is dit 'n algebraïese vlakkromme van genus een, en daarom birasionaal ekwivalent aan 'n elliptiese kromme.

As geherskalleer word deur x met ax te vervan en y met ay word 'n een-parameter familie verkry

wat j-invariant het

Let daarop dat die definisie van die kromme analoog is aan die van die ellips, waarin die som

eerder as die produk konstant is.

Eksterne skakels[wysig | wysig bron]