Platoniese vaste liggaam

in Wikipedia, die vrye ensiklopedie
Jump to navigation Jump to search
Die vyf Platoniese vaste liggame

'n Platoniese vaste liggaam is 'n konvekse vaste liggaam wat se oppervlak uit identiese reëlmatige veelhoeke bestaan. Daar is vyf sulke liggame – die tetraëder, heksaëder, oktaëder, dodekaëder en die ikosaëder. Hierdie liggame word al vanaf antieke tye bestudeer.

Wiskundige eienskappe[wysig | wysig bron]

Die aantal vlakke, hoekpunte en sye van die vyf Platoniese vaste liggame is gegee deur die Vergelyking van Euler:

waar

= aantal hoeke
= aantal vlakke
= aantal sye

Die aantal vir elke liggaam volg hieronder:

Platoniese vaste liggame
Naam tetraëder heksaëder oktaëder dodekaëder ikosaëder
Puntgroep Td Oh Oh I I
Vlakke 4 6 8 12 20
Soort driehoek vierkant driehoek vyfhoek driehoek
Hoekpunte 4 8 6 20 12
Sye 6 12 12 30 30


Elke platoniese liggaam het 'n duaalpoliëder[Nota 1] Die duaal van enige liggaam is deur die aansluitings by die middelpunte van elke vlak met die middelpunte van ander vlakke gebou. Hieronder is dit bewys dat die duaal van die kubus is die oktaëder is en dat die duaal van die oktaëder die kubus is. Op dieselfde wyse is die duaal van die dodekaëder die ikosaëder en anders om. Die duaal van die tetraëder is die tetraëder self.

Kubus en oktaëder dualiteit
Die duaal van die oktaëder is die kubus.
Die duaal van die oktaëder is die kubus.  
Die duaal van die kubus is die oktaëder.
Die duaal van die kubus is die oktaëder.  

Platoniese liggame in die praktyk[wysig | wysig bron]

Die driehoeke van 'n ikosaëder waarop die beskerming vandie Maragheh sterrewag gebaseer is, is in rooi aangedui.

Raamwerke wat gebruik word om ander strukture te ondersteun, word dikwels gebaseer op een van die platoniese vaste stowwe. Kubusse is waarskynlik die meeste gebruik word, maar moderne argitektuur gebruik dikwels ander vorms. Een van die mees opvallende vorme wat deur platoniese liggame gebruik is, is dié van die geodesiese koepel.[1]

Notas[wysig | wysig bron]

  1. Duits: Duale Körper, Engels: Dual polyhedron, Frans: Dual d'un polyèdre, Nederlands: Duaal veelvlak

Verwysings[wysig | wysig bron]

  1. (en) "Geodesic dome". Encyclopaedia Britannica. 2013.

Bibliographie[wysig | wysig bron]

  • Cubdy HM & Rollett AR (1981). Mathematical Models (3de uitgawe uitg.). Tarquin. ISBN 0 906212 20 0.