Topologie

in Wikipedia, die vrye ensiklopedie
Spring na: navigasie, soek
Voortdurende deformasie ('n tipe homeomorfisme) van 'n beker na 'n torus en terug.

In wiskunde, is topologie (van die Griekse τόπος (plek) en λόγος (studie)) gemoeid met die eienskappe van ruimte wat bewaar is onder voortdurende deformasie, soos strek en buig, maar nie skeur of gom nie. Dit kan bestudeer word deur die oorweging van 'n versameling van deelversamelings, genaamd oop stelle, dat sekere eienskappe voldoen, draai die gegewe stel in wat bekend staan as 'n topologiese ruimte. Belangrike topologiese eienskappe sluit in verbondenheid en kompaktheid.[1]

'n Voorbeeld van hierdie definisie is die topologiese ekwivalensie van 'n beker en 'n torus. (Sien regs)

Beginsels[wysig | wysig bron]

As 'n mens die Noordpool en die Suidpool ignoreer, is die twee wêreldkaarte hieronder, uit die oogpunt van 'n topoloog, identies.

Twee topologies identies wêreldkaarte
Wêreldkaarte – Miller projeksie
Wêreldkaarte – Miller projeksie  
Wêreldkaarte – Bonne projeksie
Wêreldkaarte – Bonne projeksie  

Elementêre topologie teorie ondersoek die verhouding van kante, gesigte en hoekpunte. Twee voorbeelde van hierdie konsepte is die kubus en die Möbius strook. Die kubus, wat dikwels as 'n dobbelsteen gebruik is, het ses gesigte. Dit is ook eenvoudig om die aantal hoek te tel (agt) en die aantal kante te tel (twaalf). Die Möbius strook is 'n interessante voorbeeld van topologie. Dit is in 1858 deur die Duitse wiskundige Möbius ontwikkel en het net èèn kant en net èèn gesig. Om dit te bewys, kan mense 'n streep op een kant van die strook teken sonder om die stoop oor te draai. As hulle terugkom tot die beginpunt is die streep op albei kante van die stroop![2]

Topologie voorbeelde
Die kubus het ses gesigte, agt hoekpunte en twaalf kante.
Die kubus het ses gesigte, agt hoekpunte en twaalf kante.  
'n Möbius strook wat net èèn kant en èèn gesig het.
'n Möbius strook wat net èèn kant en èèn gesig het.  

In 1756 het Euler die vergelyking vir 'n konvekse poliëder gepubliseer:

waar

= hoekpunte (in Engels verticies)
= kante (in Engels edges)
= gesigte (in Engels faces)

Kante, hoekpunte en gesigte[wysig | wysig bron]

Een van die eerste probleme wat in topologie opgelos is, is die probleem van die sewe brûe in Königsberg. Hierdie probleem is deur Euler in 1736 opgelos.

Sewe brûe in Königsberg
Kaart van die sewe brûe in Königsberg
Kaart van die sewe brûe in Königsberg  
Topologiese voorstelling van die sewe brûe
Topologiese voorstelling van die sewe brûe  

In die topologiese voorstelling is die twee oewers en die twee eilande met blou punte verteenwoording. Die brûe is met swart strepe verteenwoordig. Met die hulp van hierdie voorstelling is dit maklik om te bewys dat die nie moontlik is om elke brug net eenmaal oor te stap sonder dat 'n mens sy voete nat kry.

Vierkleur kaart[wysig | wysig bron]

Die vierkleur stelling is vir die eerste deur Guthrie in 1852 voorgestel toe hy opgemerk het dat hy net vier kleure nodig het toe hy besig was om die graafskape van 'n kaart van Engeland in te kleur. Gedurende die 1960's en 1970's het Heinrich Heesch 'n rekenaar om die stelling te bewys. Hierdie stelling geld net vir 'n eenvoudige verbinde 2-D gesig soos 'n stuk papier of die oppervlak van 'm 3-D voorwerp sonder gate. As daar 'n gat in die voorwerp is, is meer kleure nodig – byvoorbeeld is sewe kleure nodig om enige patroon op 'n torus in te kleur.

Vierkleur kaart
'n kaart met net vier kleure
'n kaart met net vier kleure  
'n torus het ten minste sewe kleure nodig
'n torus het ten minste sewe kleure nodig  

Verwysings[wysig | wysig bron]

  1. (en) "Dictionary.com". 2016. Topology. 
  2. (en) Gardiner, Martin (1985). Mathematical Magic Show. Penguin Books. p. 123. ISBN 0-14-016556-8.