Gaan na inhoud

Grigori Perelman

in Wikipedia, die vrye ensiklopedie
Grigori Perelman
Perelman in 1993

Gebore 13 Junie 1966 (1966-06-13) (58 jaar oud)
Leningrad, Sowjetunie
(nou Sint Petersburg, Rusland)
Vakgebied
Instelling(s) POMI
New York University
Universiteit van Kalifornië, Berkeley
Bekend vir
Toekennings

Grigori Yakovlevich Perelman (geb. 13 Junie 1966) is 'n Russiese wiskundige bekend vir sy bydrae tot die velde van meetkundige analise, Riemannmeetkunde, en meetkundige topografie. In 2005 het Perelman sy navorsing by Steklov Institute of Mathematics gestaak, en in 2006 sy verleentheid uitgespreek oor die stand van etiek in internasionale professionele wiskunde. Hy woon in St. Petersburg, en weier sedertdien enige media-onderhoude.

In Augustus 2006 is Perelman die Fields-medalje[1] aangebied vir "sy bydraes tot meetkunde en sy revolusionêre insigte in die analitiese en geometriese struktuur van die Ricci-vloei", maar hy het die toekenning van die hand gewys en gesê: "Ek stel nie belang in geld of roem nie; ek wil nie soos 'n dier in 'n dieretuin vertoon word nie." Op 22 Desember 2006 het die wetenskaplike tydskrif Science Perelman se bewys van die Poincaré-vermoede erken as die wetenskaplike "Deurbraak van die Jaar", die eerste sodanige erkenning in die gebied van wiskunde.

Op 18 Maart 2010 is aangekondig dat hy aan die kriteria voldoen het om die eerste Clay Millennium-prys[2] te ontvang vir die oplossing van die Poincaré-vermoede. Op 1 Julie 2010 het hy die prys van een miljoen dollar verwerp en gesê dat hy die besluit van die direksie van die Clay Institute as onregverdig beskou, deurdat sy bydrae tot die oplossing van die Poincaré-vermoede nie groter was as dié van Richard S. Hamilton, die wiskundige bekend vir die Ricci-vloei nie.[3][4] Hy het voorheen die gesogte prys van die European Mathematical Society in 1996 verwerp.[5]

Vroeë lewe en opvoeding[wysig | wysig bron]

Grigori Yakovlevich Perelman is gebore in Leningrad, Sowjetunie (nou Sint Petersburg, Rusland) op 13 Junie 1966, vir Joodse ouers,[6][7][8] Yakov (wat nou in Israel woon)[6] en Lyubov (wat steeds in Sint Petersburg saam met Grigori woon).[6] Grigori se ma Lyubov het gegradueerde werk in wiskunde opgegee om hom groot te maak. Grigori se wiskundige talent het op die ouderdom van tien duidelik geword, en sy ma het hom ingeskryf vir Sergei Rukshin se naskoolse wiskunde-opleidingsprogram.[9]

Sy wiskundige opleiding het voortgegaan by die Leningrad Sekondêre Skool 239, 'n gespesialiseerde skool met gevorderde wiskunde- en fisikaprogramme. Grigori het uitgeblink in alle vakke behalwe liggaamlike opvoeding.[10] In 1982, as 'n lid van die Sowjetunie -span wat aan die Internasionale Wiskundige Olimpiade deelneem, 'n internasionale kompetisie vir hoërskoolleerlinge, het hy 'n goue medalje gewen en 'n perfekte telling behaal.[11] Hy het voortgegaan as 'n student van die Skool vir Wiskunde en Meganika aan die Leningrad Staatsuniversiteit, sonder toelatingseksamens, en by die universiteit ingeskryf.

Nadat hy sy doktorsgraad in 1990 voltooi het, het Perelman begin werk by die Leningrad Departement van Steklov Instituut vir Wiskunde van die USSR Akademie vir Wetenskappe, waar sy raadgewers Aleksandr Aleksandrov en Yuri Burago was. In die laat 1980's en vroeë 1990's, met 'n sterk aanbeveling van die meetkundige Mikhail Gromov,[12] het Perelman navorsingsposte by verskeie universiteite in die Verenigde State verwerf. In 1991 het Perelman die Young Mathematician-prys van die St. Petersburg Mathematical Society gewen vir sy werk oor Aleksandrov se krommingsruimtes wat van onder af begrens is.[13] In 1992 is hy genooi om elk 'n semester by die Courant-instituut in die Universiteit van New York deur te bring, waar hy begin werk het aan spruitstukke met ondergrense op Ricci-kromming. Van daar af het hy in 1993 'n Miller-navorsingsgenootskap van twee jaar aan die Universiteit van Kalifornië, Berkeley, aanvaar. Nadat hy in 1994 die siel-vermoede (kyk onder) bewys het, is hy werk aangebied by verskeie top-universiteite in die VSA, insluitend Princeton en Stanford, maar hy het hulle almal verwerp en in die somer van 1995 na die Steklov-instituut in Sint Petersburg teruggekeer vir 'n navorsingsprojek-posisie.[9]

Vroeë navorsing[wysig | wysig bron]

Konvekse geometrie[wysig | wysig bron]

In sy voorgraadse studie het Perelman gewerk aan probleme in die gebied van konvekse meetkunde. Sy eerste gepubliseerde artikel het die kombinatoriese strukture bestudeer wat voortspruit uit kruisings van konvekse veelvlakke. Met IV Polikanova het hy 'n maat-teoretiese formulering van Helly se stelling daargestel. In 1987, die jaar toe hy nagraadse studies begin het, het hy 'n artikel gepubliseer wat die grootte van omskrewe silinders deur dié van ingeskrewe sfere beheer.

Negatief geboë hiperoppervlaktes[wysig | wysig bron]

Oppervlaktes van negatiewe kromming was die onderwerp van Perelman se nagraadse studies. Sy eerste resultaat was oor die moontlikheid om die struktuur van negatief-geboë veelvlakkige oppervlaktes in driedimensionele Euklidiese ruimte te ondersoek. Hy het bewys dat enige so 'n metriek op die vlak wat volledig is, voortdurend as 'n veelvlakkige oppervlak ondergedompel kan word. Later het hy 'n voorbeeld gekonstrueer van 'n gladde hiperoppervlak van vierdimensionele Euklidiese ruimte wat volledig is en negatiewe Gaussiese kromming het, en nie van nul af weg begrens is nie. Vorige voorbeelde van sulke oppervlaktes was bekend, maar Perelman was die eerste wat die saal-eienskap uitgestal het op die nie-bestaan van plaaslik streng ondersteunende hiperoppervlaktes. As sodanig het sy konstruksie verdere teenstand gebied teen enige uitbreiding van 'n bekende stelling van Nikolai Efimov na hoër dimensies.[14]

Alexandrov spasies[wysig | wysig bron]

Perelman se eerste werke wat 'n groot impak op die wiskundige literatuur gehad het, was in die veld van Alexandrov-ruimtes, 'n konsep uit die 1950's. In 'n baie bekende artikel wat saam met Yuri Burago en Mikhael Gromov geskryf is, het Perelman die moderne grondslae van hierdie veld gevestig, met die idee van Gromov-Hausdorff-konvergensie as 'n organiserende beginsel. [BGP92] In 'n opvolg ongepubliseerde artikel, het Perelman sy "stabiliteitstelling" bewys en beweer dat in die versameling van alle Alexandrov-ruimtes met 'n vaste kromming gebind, alle elemente van enige metrieke bal wat klein genoeg is, rondom 'n kompakte ruimte, wedersyds homeomorf is. [P91] Vitali Kapovitch, wat Perelman se artikel as "baie moeilik om te lees" beskryf het, het later 'n gedetailleerde weergawe van Perelman se bewys geformuleer, met 'n paar verdere vereenvoudigings.

Perelman het 'n weergawe van Morse-teorie op Alexandrov-ruimtes ontwikkel. Ten spyte van die gebrek aan gladheid in Alexandrov-ruimtes, kon Perelman en Anton Petrunin die gradiëntvloei van sekere funksies, in ongepubliseerde werk, oorweeg. Hulle het ook die idee van 'n "ekstremale deelversameling" van Alexandrov-ruimtes bekendgestel en getoon dat die binnekante van sekere ekstremale deelversamelings 'n stratifikasie van die ruimte deur topologiese spruitstukke definieer. In verdere ongepubliseerde werk het Perelman GS-funksies (verskil van konkawe funksies) op Alexandrov-ruimtes bestudeer en vasgestel dat die stel reëlmatige punte die struktuur van 'n spruitstuk het wat op GS-funksies gemodelleer is.

Vir sy werk oor Alexandrov-ruimtes is Perelman erken met 'n genooide lesing by die 1994 International Congress of Mathematicians.

Vergelykbaarheidsmeetkunde[wysig | wysig bron]

In 1972 het Jeff Cheeger en Detlef Gromoll hul belangrike sielstelling gevestig. Dit beweer dat elke volledige Riemanniese metriek van nienegatiewe deursneekromming 'n kompakte nienegatief-geboë subverdeling het, wat 'n siel genoem word, waarvan die normale bundel diffeomorfies aan die oorspronklike ruimte is. Vanuit die perspektief van homotopieteorie sê dit veral dat elke volledige Riemanniese metriek van nienegatiewe snitkromming, as toe beskou kan word. Cheeger en Gromoll het vermoed dat as die kromming iewers streng positief is, die siel as 'n enkele punt beskou kan word, en dus dat die oorspronklike ruimte anders as die Euklidiese ruimte moet wees. In 1994 het Perelman 'n kort bewys gelewer van Cheeger en Gromoll se aanname deur vas te stel dat, onder die toestand van nienegatiewe deursneekromming, Sharafutdinov se terugtrekking 'n onderdompeling is. [P94b] Perelman se stelling is betekenisvol in die vestiging van 'n topologiese obstruksie om 'n nienegatief-geboë metriek te vervorm na een wat positief geboë is, selfs by 'n enkele punt.

Sommige van Perelman se werk het gehandel oor die konstruksie van verskeie interessante Riemann-spruitstukke met positiewe Ricci-kromming. Hy het Riemanniese metrieke gevind op die gekoppelde som van arbitrêr baie komplekse projektiewe vlakke met positiewe Ricci-kromming, begrensde deursnee en volume wat weg van nul af begrens is. Ook het hy 'n eksplisiete volledige metriek op vierdimensionele Euklidiese ruimte gevind met positiewe Ricci-kromming en Euklidiese volumegroei, en sodanig dat die asimptotiese keël nie-uniek gedefinieer is.

Meetkunde en Poincaré aannames[wysig | wysig bron]

Die probleme[wysig | wysig bron]

Die Poincaré-aanname, wat in 1904 deur wiskundige Henri Poincaré voorgestel is, is deur die 20ste eeu as 'n sleutelprobleem in topologie beskou. Op 'n 3-sfeer, gedefinieer as die stel punte op eenheidslengte vanaf die oorsprong in vierdimensionele Euklidiese ruimte, kan enige lus in 'n punt saamgetrek word. Poincaré het voorgestel dat die teenoorgestelde waar kan wees: as 'n geslote driedimensionele spruitstuk die eienskap het dat enige lus in 'n punt saamgetrek kan word, dan moet dit topologies aan 'n 3-sfeer gelykstaande wees. Stephen Smale het in 1961 'n hoë-dimensionele analoog van Poincaré se aanname bewys, en Michael Freedman het die vierdimensionele weergawe in 1982 bewys.[15][16] Ten spyte van hul werk het die geval van driedimensionele ruimtes heeltemal onopgelos gebly. Boonop het Smale en Freedman se metodes geen impak op die driedimensionele geval gehad nie, aangesien hul topologiese manipulasies, wat "problematiese streke" uit die pad skuif sonder om met ander streke in te meng, blykbaar hoë dimensies vereis om te werk.

In 1982 het William Thurston 'n nuwe standpunt ontwikkel, wat die Poincaré-aanname tot 'n klein spesiale geval van 'n hipotetiese sistematiese struktuurteorie van topologie in drie dimensies gereduseer het. Sy voorstel, bekend as die Thurston-geometrisasie-aanname, het voorgehou dat gegewe enige geslote driedimensionele spruitstuk hoegenaamd, daar 'n versameling tweedimensionele sfere en tori binne-in die spruitstuk is wat die spasie in afsonderlike stukke ontkoppel, wat elkeen toegerus kan word met 'n eenvormige geometriese struktuur.[17] Thurston kon sy aanname onder sekere voorlopige aannames bewys. Volgens John Morgan se siening was dit slegs met Thurston se sistematiese standpunt dat die meeste topoloë begin glo het dat die Poincaré-aanname waar sou wees.[18]

Samelopend met Thurston se publikasie van sy aanname het Richard Hamilton sy teorie van die Ricci-vloei bekendgestel. Hamilton se Ricci-vloei is 'n voorskrif, gedefinieer deur 'n parsiële differensiaalvergelyking, formeel analoog aan die hittevergelyking, vir hoe om 'n Riemanniese metriek op 'n spruitstuk te vervorm. Die hittevergelyking, soos wanneer dit in die wetenskappe toegepas word op fisiese verskynsels soos temperatuur, modelleer hoe konsentrasies van uiterste temperature sal versprei totdat 'n eenvormige temperatuur deur 'n voorwerp bereik word. In drie hoofartikels wat in die 1980's gepubliseer is, het Hamilton bewys dat sy vergelyking analoge verskynsels bereik het, deur uiterste krommings te versprei en 'n Riemanniese metriek in sekere geometriese omgewings te uniformiseer.[19][20][21] As 'n neweproduk kon hy 'n paar nuwe en treffende stellings op die gebied van Riemanniese meetkunde.

Ten spyte van formele ooreenkomste, is Hamilton se vergelykings aansienlik meer kompleks en nie-lineêr as die hittevergelyking, en dit is onmoontlik dat sodanige uniformisering bereik word sonder kontekstuele aannames. In heeltemal algemene instellings is dit onvermydelik dat "singulariteite" voorkom, wat beteken dat kromming ophoop tot oneindige vlakke nadat 'n beperkte hoeveelheid "tyd" verloop het. Na aanleiding van Shing-Tung Yau se voorstel dat 'n gedetailleerde begrip van hierdie singulariteite topologies betekenisvol kan wees, en veral dat hul liggings die sfere en tori in Thurston se aanname kan identifiseer, het Hamilton 'n stelselmatige analise begin.[22] Deur die 1990's het hy 'n aantal nuwe tegniese resultate en metodes gevind, wat sou uitloop op 'n 1997-publikasie wat 'n "Ricci-vloei met chirurgie" vir vierdimensionele ruimtes konstrueer. As 'n toepassing van sy konstruksie was Hamilton in staat om 'n vierdimensionele kromming-gebaseerde analoog van die Poincaré-aanname te bepaal. Yau het hierdie artikel geïdentifiseer as een van die belangrikste op die gebied van meetkundige analise, en gesê dat dit met die publikasie daarvan duidelik geword het dat Ricci-vloei kragtig genoeg kan wees om die Thurston-aanname te besleg.[23] Die sleutel van Hamilton se analise was 'n kwantitatiewe begrip van hoe singulariteite in sy vierdimensionele omgewing voorkom; die mees uitstaande probleem was die kwantitatiewe begrip van hoe singulariteite in driedimensionele omgewings voorkom. Alhoewel Hamilton nie in staat was om hierdie probleem op te los nie, het hy in 1999 werk gepubliseer oor Ricci-vloei in drie dimensies, wat toon dat as 'n driedimensionele weergawe van sy chirurgietegnieke ontwikkel kan word, en as 'n sekere aanname oor die langdurige gedrag van Ricci-vloei vasgestel kon word, dan sou Thurston se aanname opgelos word.[24] Dit het bekend geword as die Hamilton-program.

Perelman se werk[wysig | wysig bron]

In November 2002 en Maart 2003 het Perelman twee voordrukke op arXiv geplaas, waarin hy beweer het dat hy 'n bewys van Thurston se aanname uiteengesit het. [P02][P03a] In 'n derde stuk wat in Julie 2003 geplaas is, het Perelman 'n bykomende argument uiteengesit, voldoende om die Poincaré-aanname te bewys (maar nié die Thurston-aanname nie), waarvan die punt is om die mees tegniese werk in sy tweede voordruk te vermy. [P03b] Deur van die Almgren-Pitts min-maks teorie uit die veld van meetkundige maatteorie gebruik te maak, het Tobias Colding en William Minicozzi 'n heeltemal alternatiewe bewys van die resultate in Perelman se derde voordruk gelewer.[25][26][27]

Perelman se eerste voordruk bevat twee primêre resultate, beide rakende Ricci-vloei. Die eerste, geldig in enige dimensie, was gebaseer op 'n nuwe aanpassing van Peter Li en Shing-Tung Yau se differensiële Harnack-ongelykhede tot die veld van Ricci-vloei.[28] Deur die bewys van die Biskop-Gromov-ongelykheid vir die gevolglike Li−Yau-lengtefunksie uit te voer, het Perelman sy gevierde "nie-ineenstortende stelling" vir Ricci-vloei vasgestel, en beweer dat plaaslike beheer van die grootte van die kromming beheer van volumes impliseer. Die betekenis van die nie-ineenstortende stelling is dat volumebeheer een van die voorwaardes van Hamilton se kompaktheidstelling is. Gevolglik kon Hamilton se kompaktheid en die ooreenstemmende bestaan van opeenvolgende perke ietwat vrylik toegepas word.

Die "kanonieke naburigheidstelling" is die tweede hoofresultaat van Perelman se eerste voordruk. In hierdie stelling het Perelman die kwantitatiewe begrip van singulariteite van driedimensionele Ricci-vloei bereik wat Hamilton ontwyk het. Rofweg gesproke het Perelman gewys dat op 'n mikroskopiese vlak elke singulariteit óf lyk soos 'n silinder wat na sy as ineenstort, óf 'n sfeer wat na sy middelpunt ineenstort. Perelman se bewys van sy kanonieke naburigheidstelling is 'n hoogs tegniese prestasie, gebaseer op uitgebreide argumente deur teenstrydigheid waarin Hamilton se kompaktheidstelling (soos gefasiliteer deur Perelman se nie-ineenstortende stelling) toegepas word om self-teenstrydige veelvuldige ruimtes te konstrueer.

Ander antwoorde in Perelman se eerste voordruk sluit die bekendstelling van sekere monotoniese hoeveelhede en 'n "pseudoposisiestelling" in wat krommingbeheer en isoperimetrie met mekaar laat pas. Ten spyte van die grondigheid van hierdie resultate in die teorie van Ricci-vloei, is dit egter nie in die res van sy werk toegepas nie.

Die eerste helfte van Perelman se tweede voordruk, benewens die regstelling van 'n paar verkeerde stellings en argumente uit die eerste voordruk, het sy kanonieke naburigheidstelling gebruik om 'n Ricci-vloei met chirurgie in drie dimensies te konstrueer, wat enkelvoudige streke stelselmatig uitsny namate hulle ontwikkel. As 'n onmiddellike uitvloeisel van sy konstruksie, het Perelman 'n groot aanname opgelos oor die topologiese klassifikasie in drie dimensies van geslote spruitstukke wat metrieke van positiewe skalare kromming toelaat. Sy derde voordruk (of alternatiewelik Colding en Minicozzi se werk) het getoon dat op enige ruimte wat aan die aannames van die Poincaré-konjektuur voldoen, die Ricci-vloei met chirurgie slegs vir eindige tyd bestaan, sodat die oneindige-tyd-analise van Ricci-vloei irrelevant is. Die konstruksie van Ricci-vloei met chirurgie het die Poincaré-aanname as 'n uitvloeisel.

Fields-medalje en Millennium-prys[wysig | wysig bron]

Richard Hamilton, op wie se vroeëre resultate Perelman staatgemaak het

In Mei 2006 het 'n komitee van nege wiskundiges gestem om Perelman 'n Fields-medalje toe te ken vir sy werk oor die Ricci-vloei.[29] Perelman het egter geweier om die prys te aanvaar. Sir John Ball, president van die Internasionale Wiskundige Unie, het Perelman in Junie 2006 in Sint Petersburg genader om hom te oorreed om die prys te aanvaar. Na 'n 10 uur lange poging tot oorreding oor twee dae, het Ball moed opgegee. Twee weke later het Perelman die gesprek soos volg opgesom: “Hy het drie alternatiewe aan my voorgestel: aanvaar en daag op; aanvaar en moenie opdaag nie, en ons stuur later vir jou die medalje; derdens, ek aanvaar nie die prys nie. Van die begin af het ek vir hom gesê ek het die derde een gekies ... [die prys] was heeltemal irrelevant vir my. Almal het verstaan dat as die bewys korrek is, dit geen verdere erkenning benodig nie."[29] Hy is ook as volg aangehaal: "'Ek stel nie belang in geld of roem nie, ek wil nie soos 'n dier in 'n dieretuin vertoon word nie. Ek is nie 'n held van wiskunde nie. Ek is nie eers so suksesvol nie; daarom wil ek nie hê dat almal na my kyk nie.'"[30]

Nietemin, op 22 Augustus 2006, by die Internasionale Kongres van Wiskundiges in Madrid, is Perelman die Fields-medalje aangebied "vir sy bydraes tot meetkunde en sy revolusionêre insigte in die analitiese en geometriese struktuur van die Ricci-vloei".[31] Hy het nie die seremonie bygewoon nie en die aanbieder het die kongres ingelig dat Perelman geweier het om die medalje te aanvaar, wat hom die enigste persoon gemaak het wat ooit die prys van die hand gewys het.[5]

Hy het voorheen 'n gesogte prys van die European Mathematical Society verwerp.[5]

Op 18 Maart 2010 is 'n Millenniumprys aan Perelman toegeken vir die oplossing van die probleem.[32] Op 8 Junie 2010 het hy nie 'n seremonie ter ere van hom by die Institut Océanographique, Parys, bygewoon om sy prys van $1 miljoen te aanvaar nie. Volgens Interfax het Perelman in Julie 2010 geweier om die Millennium-prys te aanvaar. Hy het die besluit van die Clay Instituut as onregverdig beskou omdat hulle nie die prys met Richard S. Hamilton gedeel het nie,[3] en het gesê dat die hoofrede sy meningsverskil met die georganiseerde wiskundige gemeenskap is. "Ek hou nie van hul besluite nie, ek beskou hulle onregverdig."[4]

Die Clay Instituut het daarna Perelman se prysgeld gebruik om die "Poincaré-stoel", 'n tydelike pos vir jong belowende wiskundiges by die Paryse Institut Henri Poincaré te finansier.[33]

Moontlike onttrekking uit die veld[wysig | wysig bron]

Perelman het sy werk by die Steklov Instituut in Desember 2005 bedank.[34] Sy vriende het na bewering verklaar dat hy tans wiskundige werk as emosioneel pynlik ervaar; teen 2010 het sommige selfs gesê dat hy wiskunde heeltemal laat vaar het.[35]

Verwysings[wysig | wysig bron]

  1. "Fields Medals 2006". International Mathematical Union (IMU) – Prizes. Geargiveer vanaf die oorspronklike op 17 Junie 2013. Besoek op 30 April 2006.
  2. "The Poincaré Conjecture". Geargiveer vanaf die oorspronklike op 5 Julie 2014. Besoek op 1 Mei 2014.
  3. 3,0 3,1 {{cite news}}: Leë aanhaling (hulp)
  4. 4,0 4,1 Malcolm Ritter (1 Julie 2010). "Russian mathematician rejects $1 million prize". AP on PhysOrg. Geargiveer vanaf die oorspronklike op 17 Januarie 2012. Besoek op 15 Mei 2011.
  5. 5,0 5,1 5,2 {{cite news}}: Leë aanhaling (hulp)
  6. 6,0 6,1 6,2 {{cite news}}: Leë aanhaling (hulp)
  7. McKie, Robin (27 Maart 2011). "Perfect Rigour: A Genius and the Mathematical Breakthrough of the Century by Masha Gessen – review". The Guardian. Geargiveer vanaf die oorspronklike op 4 Oktober 2013. Besoek op 23 Augustus 2013. Given that his parents were Jewish, Perelman, who was born in 1966, was fortunate in those who took up his cause.
  8. (Gessen 2009)
  9. 9,0 9,1 . PMID Allen Paulos John Allen Paulos. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (hulp); Check |pmid= value (hulp); Ontbrekende of leë |title= (hulp)
  10. {{cite news}}: Leë aanhaling (hulp)
  11. "International Mathematical Olympiad". Imo-official.org. Geargiveer vanaf die oorspronklike op 2 November 2012. Besoek op 25 Desember 2012.
  12. (Gessen 2009)
  13. "Young mathematician prize of the St. Petersburg Mathematical Society".
  14. Efimov, N.V. Generation of singularites on surfaces of negative curvature. Mat. Sb. (N.S.) 64 (106) 1964 286–320.
  15. Smale, Stephen. Generalized Poincaré's conjecture in dimensions greater than four. Ann. of Math. (2) 74 (1961), 391–406.
  16. Freedman, Michael Hartley. The topology of four-dimensional manifolds. J. Differential Geometry 17 (1982), nr. 3, 357–453.
  17. Thurston, William P. Three-dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 6 (1982), nr. 3, 357–381.
  18. John Morgan. "The Poincaré conjecture." Lesing by die 2006 International Congress of Mathematicians.
  19. Hamilton, Richard S. Three-manifolds with positive Ricci curvature. J. Differential Geometry 17 (1982), nr. 2, 255–306.
  20. Hamilton, Richard S. Four-manifolds with positive curvature operator. J. Differential Geom. 24 (1986), nr. 2, 153–179.
  21. Hamilton, Richard S. The Ricci flow on surfaces. Mathematics and general relativity (Santa Cruz, CA, 1986), 237–262, Contemp. Math., 71, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1988.
  22. "Autobiography of Richard S Hamilton | the Shaw Prize".
  23. Yau, Shing-Tung. Perspectives on geometric analysis. Surveys in differential geometry. Vol. X, 275–379, Surv. Differ. Geom., 10, Int. Press, Somerville, MA, 2006.
  24. Hamilton, Richard S. Non-singular solutions of the Ricci flow on three-manifolds. Comm. Anal. Geom. 7 (1999), nr. 4, 695–729.
  25. Colding, Tobias H.; Minicozzi, William P., II. Estimates for the extinction time for the Ricci flow on certain 3-manifolds and a question of Perelman. J. Amer. Math. Soc. 18 (2005), nr. 3, 561–569.
  26. Colding, Tobias H.; Minicozzi, William P., II. Width and finite extinction time of Ricci flow. Geom. Topol. 12 (2008), nr. 5, 2537–2586.
  27. Colding, Tobias Holck; Minicozzi, William P., II. A course in minimal surfaces. Graduate Studies in Mathematics, 121. American Mathematical Society, Providence, RI, 2011. xii+313 pp. ISBN 978-0-8218-5323-8
  28. Li, Peter; Yau, Shing-Tung. On the parabolic kernel of the Schrödinger operator. Acta Math. 156 (1986), nrs. 3-4, 153–201.
  29. 29,0 29,1 {{cite news}}: Leë aanhaling (hulp)
  30. {{cite news}}: Leë aanhaling (hulp)
  31. {{cite news}}: Leë aanhaling (hulp)
  32. Clay Mathematics Institute (18 Maart 2010). "Prize for Resolution of the Poincaré Conjecture Awarded to Dr. Grigoriy Perelman". Persberig. Archived from the original on 22 Maart 2010. https://web.archive.org/web/20100322192115/http://www.claymath.org/poincare/. Besoek op 1 Mei 2014. 
  33. "Poincaré Chair". Clay Institute. 4 Maart 2014. Geargiveer vanaf die oorspronklike op 9 Mei 2023. Besoek op 20 November 2023.
  34. (Gessen 2009)
  35. Главные новости (in Russies). RBC Information Systems. 22 Augustus 2006. Geargiveer vanaf die oorspronklike op 16 Julie 2011. Besoek op 21 Maart 2010.